Question

Las aves de la orillaEn las obras de un matemático árabe del siglo XI hallamos el siguiente problema:A ambas orillas de un río crecen dos palmeras, la una frente a la otra. La altura de una esde 30 codos, y la de la otra, de 20. La distancia entre sus troncos, 50 codos. En la copa decada palmera hay un pájaro. De súbito los dos pájaros descubren un pez que aparece en lasuperficie del agua, entre las dos palmeras. Los pájaros se lanzaron y alcanzaron el pez almismo tiempo. ¿A qué distancia del tronco de la palmera mayor apareció el pez?

#Exani II

Answer 1

El pez apareció a 20 codos del tronco de la palmera de mayor altura.

Explicación paso a paso:  

Partimos del principio que los pájaros vuelan a la misma velocidad, de manera tal que si recorrieron la distancia que los separaba del pez en el mismo tiempo, estas distancias son iguales.

En la figura anexa observamos dos triángulos rectángulos que se forman al caer los pájaros desde la parte más alta de los lados verticales, que serían las palmeras, hacia un mismo punto que es el pez en el río.

Estas líneas inclinadas son las hipotenusas de los triángulos rectángulos y ya definimos que son iguales.

El lado horizontal de cada triángulo se señala en relación a una cantidad  x.  Sabemos que el río mide 50 codos, entonces llamamos  x  a la distancia del pez al tronco de la palmera mayor; es decir, el lado horizontal del triángulo a la derecha y la diferencia, 50 – x, al lado horizontal del otro triángulo.

Por el Teorema de Pitagoras sabemos que:

(Hipotenusa)²  =  (Cateto Opuesto)²  +  (Cateto Adyacente)²

En los triángulos de la figura anexa, la hipotenusa se llama  d,  el Cateto Opuesto es la altura de la palmera y el Cateto Adyacente es el lado horizontal (rio).

Entonces tenemos las siguientes ecuaciones:

d²  =  (30)²  +  (x)²

d²  =  (20)²  +  (50  -  x)²

Para resolver el valor de  x  igualamos ambas ecuaciones en el valor d²

(30)²  +  (x)²  =  (20)²  +  (50  -  x)²        ⇒

900  +  x²  =  400  +  2500  -  100x  +  x²        ⇒

100x  -  x²  +  x²  =  400  +  2500  -  900        ⇒

100x  =  2000       ⇒        x  =  20  codos

El pez apareció a 20 codos del tronco de la palmera de mayor altura.