Cuantos enteros positivos n tiene la siguiente propiedad: entre los divisores positivos de n, distintos de 1 y del propio n, el mayor es 15 veces el menor.
Respuestas
Los números 60 y 135 son los únicos 2 números enteros positivos que cumplen que entre sus divisores positivos, distintos de 1 y de ellos mismos, el mayor es 15 veces el menor.
Explicación paso a paso:
Vamos a partir de la relación entre el menor de los divisores y el mayor, que este último es 15 veces el primero.
Decir que el mayor es 15 veces el menor, significa multiplicar el menor por 15. Este producto implica que n también es divisible entre 15; es decir entre 3 y 5, pues 15 = 3*5 en factores primos.
Así que n debe ser divisible entre 3 y eso deja solo el 2 como posible divisor menor que 3 pero mayor que 1.
Ahora veamos de que manera 2 y 3 cumplen con el enunciado:
a) Número 2
Si 2 es el menor de los divisores distintos de 1, multiplicarlo por 15 da como resultado 30. Este debe ser el mayor de los divisores antes del propio n. Multipliquemos 30 por 2, para trabajar con divisores conocidos que cumplan la propiedad dada, lo que da como resultado 60.
n = 60 = 2²*3*5
Divisores: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 15, 30, 60
b) Número 3
Si 3 es el menor de los divisores distintos de 1, multiplicarlo por 15 da como resultado 45. Este debe ser el mayor de los divisores antes del propio n. multipliquemos 45 por 3, para trabajar con divisores conocidos que cumplan la propiedad dada, lo que da como resultado 135.
n = 135 = 3³*5
Divisores: 1, 3, 5, 9, 15, 27, 45, 135
c) ¿Cuáles son los posibles valores de n?
Los números 60 y 135 son los únicos 2 números enteros positivos que cumplen que entre sus divisores positivos, distintos de 1 y de ellos mismos, el mayor es 15 veces el menor.