Question

Sea L la recta del espacio que contiene a los puntos P(-1, 1, 2) y Q(0, -1, 1), y seaR(-b^2, b, b^2+ 1) un punto en el espacio. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones esverdadera?A) Existe un único valor de b para el cual R pertenece a L.B) R no pertenece a L, cualquiera sea el valor de b.C) Existen exactamente dos valores de b para los cuales R pertenece a L.D) Cualquiera sea el valor de b, R pertenece a L.E) Existen al menos dos valores positivos de b para los cuales R pertenecea L.


#PSU

Answer 1

Sea L la recta del espacio que contiene los puntos P y Q la afirmación verdadera es que existen exactamente dos valores de b para los cuales R pertenece a L.

Se considera la ecuación de la recta vectorial en el espacio que pasa  por los puntos A(r, s, t) y B(m, n, p) es (x, y, z) = (m - r, n -s, p - t)λ + (m, n, p),  con λ ∈ IR, donde el vector (m- r, n - s, p - t) se conoce como vector director.

Dado los puntos P y Q, una ecuación vectorial que pasa por esos puntos es:

(x,y,z)=((0-(-1)),(-1-1),(1-2))λ+(0,-1,1)

(x,y,z)=(1,-2,-1)λ+(0,-1,1)

(x,y,z)=(λ,-2λ-1,-λ+1)

Para R que pertenece a L se cumple lo siguiente:

(-$b^{2} ,b,b^{2} +1)$=(λ,-2λ-1,-λ+1)

b^{2}=λ

$-\frac{b+1}{2}$=λ

-b^{2}=λ

Las tres ecuaciones son iguales entonces b^{2}=$-\frac{b+1}{2}$ esto es:

2b^2-b-1=0

Se aplica la resolvente y se obtiene b1=1 y b2=-1/2=-0.5.

Por lo tanto la respuesta es C