En la circunferencia de la figura adjunta los puntos A, B, D y F pertenecen a ella,AC y BF se intersectan en E, el punto D está en AC y CBes tangente a la circunferencia en B. Si EF = 5 cm, ED = 3 cm, AE = 2 cm y CB = 6 cm, entonces(DC + EB) es igual a
#PSU
Respuestas
Si EF = 5 cm, ED = 3 cm, AE = 2 cm y CB = 6 cm, entonces (DC + EB) es igual a 26/5cm, opción C.
Para hallar las medidas de EB y DC se aplica la relación entre los segmentos de las cuerdas AD y BF de la circunferencia y la relación entre la secante AC y la tangente BC a la circunferencia.
Para ello se aplica la relación definida "en una circunferencia donde las cuerdas SQ y PR se intersectan en el punto M se cumple que SM . MQ = PM . MR siendo en este caso
EF.EB = AE . ED
Sustituyendo valores tenemos que:
5.EB = 2 x 3
EB = 6/5 cm
Luego en una circunferencia donde la secante PR se intersecta con la tangente PS en el punto P, se cumple que PS² = PQ . PR
Para este caso sería
CB² = DC . AC
Pero AC está formada por AE+ED +DC, donde AE+ED equivale a 5cm.
Sustituyendo los valores tenemos:
CB² = DC . AC
CB² = DC (AE+ED+DC)
= DC (5+DC)
36 = 5DC + DC²
DC²+ 5DC - 36 = 0
Factorizando tenemos:
(DC + 9)(DC - 4) = 0
Por lo que los valores de DC pueden ser:
DC = -9
DC = 4
Si DC = 4 entonces:
DC + EB = 4 + 6/5
DC + EB = 26/5, por lo que la opción correcta es la opción C.