Sea f una función, con dominio el conjunto de los números reales, definida porf(x) = mx^n, con m un número real distinto de cero y n un número entero positivo,tal que 0 < n ≤ 3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?A) Para cualquier m y n, las gráficas de las funciones tienen un eje desimetría.B) Si f(a) = f(b), entonces a = b, para todo n y m.C) La función f no puede ser decreciente.D) Si para n = 1 se tiene que f se denota por g, para n = 2 se tiene que f sedenota por h y para n = 3 se tiene que f se denota por t, entonces hay almenos un punto donde se intersectan las gráficas de g, h y t.E) Para m < 0 y para n un número par, el recorrido de f es el conjunto de losnúmeros reales positivos.
#PSU
Respuestas
De las afirmaciones dadas se cumple las afirmaciones A y D
f(x) = mxⁿ donde 0 < n ≤ 3:
Si n = 1, entonces es una recta por lo cual el eje x no es simétrico.
Si n = 2 es una parábola por lo que el eje y no es simétrico
Si n = 3, es una cubica por lo que ninguno de los dos ejes son simétricos.
A) Tiene al menos un eje no simétrico
B) Si f(a) = f(b) no necesariamente a = b por ejemplo para n = 2, entonces f(x) = mx², y f(1) = f(-1) = m pero 1≠ - 1
C) La función no puede ser decreciente: falso por ejemplo si m = - 1 y n = 1, tenemos la función f(x) = - x, que es decreciente.
D) Tenemos las funciones g(x) = mx, h(x) = mx², t(x) = mx³, vemos que todas se cortan en el punto (0,0) entonces hay al menos un punto donde se interceptan
E) Para m negativo y n par: entonces el unico n posible par es n = 2 f(x) = m*x², pero m es negativo y x² positivo entonces f(x) es negativo siempre para x ≠ 0, por lo tanto el recorrido es todos lo contrario: los reales negativos y el cero