Question

Sean a y b números enteros distintos de cero y n un número entero positivo. Laecuación ax^2 - b^n= 0, en x, tiene como solución siempre números complejos dela forma p + qi, con p y q números reales y q ≠ 0, si


#PSU

Answer 1

La  ecuación $ax^{2} -b^{n} =0$, en x, tiene como solución siempre números complejos de la  forma p + qi, con p y q números reales y q ≠0, si : a<0 y n es un numero impar.

Hay que determinar si a y n pertenece o no a los números complejos, y que sea su parte imaginaria distinta de cero:

$ax^{2} -b^{n} =0\\ax^{2} =b^{n}\\x^{2} =\frac{b^{n}}{a}$

Enunciados de interés:

1. si $\frac{p}{q} <0$ entonces p>0 y q<0 o p<0 y q<0
2. Si p es un número entero negativo y n es un número par, entonces $p^{n}$ es un número positivo.
3. Si p es un número entero positivo y n es un número impar, entonces $p^{n}$ es un número positivo.

Para que x se un numero complejo distinto de cero entonces $\frac{b^{n} }{a}$, debe ser negativo, y ocurre si b^n > 0 y a<0 o b^n<0 y a>0.

analizar b ^n  > 0 y a < 0, se tiene que para que b ^n  > 0, n debe ser par, sin importar el valor que tome b.

Al analizar b ^n  < 0 y a > 0, se tiene que para que b ^n  < 0, n debe ser impar y b < 0.

Por lo tanto la respuesta es la opción C