Dados los puntos A(-1,3) y B(3,3) correspondientes a los extremos del diámetro de una circunferencia. ¿Cuál es la ecuación de dicha circunferencia?
Urgeeeeee
Respuestas
Respuesta: (x-1)² + (y-3)² = 4
Explicación paso a paso:
Como el diámetro es una recta, conocidos dos puntos, podemos establecer la ecuación de esta recta:
A(-1,3) y B(3,3)
(y - y₁)/(x - x₁) = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)
Sustituyendo aquí las coordenadas de los dos puntos, tenemos la ecuación.
(y - 3)/(x -(-1)) = (3-3)/(3-(-1))
(y - 3)/(x +1) = 0/4
y - 3 = 0(x +1)
y - 3 = 0
y = 3 , esta es la ecuación del diámetro que pasa por A y B
La ecuación general de una recta de centro C(p,q) y radio r es:
(x-p)² + (y-q)² = r²
Como (x,y) corresponden a puntos pertenecientes a la circunferencia, podemos sustituir aquí las coordenadas de los dos puntos extremos del diámetro que sabemos que pertenecen a la circunferencia.
A(-1,3) y B(3,3)
Tenemos:
(-1-p)² + (3-q)² = r² } Ecuación 1
(3-p)² + (3-q)² = r² } Ecuación 2
Siendo ambas ecuaciones iguales a r² podemos igualarlas:
(-1-p)² + (3-q)² = (3-p)² + (3-q)²
Operando tenemos:
1 +2p + p² + 9 - 6q + q² = 9 - 6p + p² + 9 - 6q + q²
Agrupamos términos:
2p + 6p = 9-1
8p = 8
p = 8/8 = 1 , abscisa x = 1
Ya tenemos las coordenadas del centro, porque la abscisa p = 1 y la ordenada q = 3, porque el diámetro calculado pasa por el centro y su ordenada y = 3 en todos los puntos de ese diámetro.
C(p,q) = C(1,3) , este es el centro de la circunferencia
Sustituyendo las coordenadas del centro en una ecuación de la circunferencia, calculamos el radio:
(3-p)² + (3-q)² = r² } Ecuación 2
(3-1)² + (3-3)² = r²
2² + 0 = r²
r² = 2²
r = √4 = 2, este es el radio de la circunferencia
Y con el centro y el radio, completamos la ecuación de esta circunferencia:
C(p,q) = (1,3) , coordenadas del centro de la circunferencia
r = 2 , radio de la circunferencia
(x-p)² + (y-q)² = r²
(x-1)² + (y-3)² = 2²
(x-1)² + (y-3)² = 4
Respuesta: (x-1)² + (y-3)² = 4 , esta es la ecuación de esta circunferencia.
Adjunto gráfica de esta función
Michael Spymore
