Dados los puntos A(-1,3) y B(3,3) correspondientes a los extremos del diámetro de una circunferencia. ¿Cuál es la ecuación de dicha circunferencia?

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Respuestas

Respuesta dada por: MichaelSpymore1

Respuesta: (x-1)² + (y-3)² = 4

Explicación paso a paso:

Como el diámetro es una recta, conocidos dos puntos, podemos establecer la ecuación de esta recta:

A(-1,3) y B(3,3)

(y - y₁)/(x - x₁) = (y₂-y₁)/(x₂-x₁)

Sustituyendo aquí las coordenadas de los dos puntos, tenemos la ecuación.

(y - 3)/(x -(-1)) = (3-3)/(3-(-1))

(y - 3)/(x +1) = 0/4

y - 3 = 0(x +1)

y - 3 = 0

y = 3 , esta es la ecuación del diámetro que pasa por A y B

La ecuación general de una recta de centro C(p,q) y radio r es:

(x-p)² + (y-q)² = r²

Como (x,y) corresponden a puntos pertenecientes a la circunferencia, podemos sustituir aquí las coordenadas de los dos puntos extremos del diámetro que sabemos que pertenecen a la circunferencia.

A(-1,3) y B(3,3)

Tenemos:

(-1-p)² + (3-q)² = r² } Ecuación 1

(3-p)² + (3-q)² = r² } Ecuación 2

Siendo ambas ecuaciones iguales a r² podemos igualarlas:

(-1-p)² + (3-q)² = (3-p)² + (3-q)²

Operando tenemos:

1 +2p + p² + 9 - 6q + q² = 9 - 6p + p² + 9 - 6q + q²

Agrupamos términos:

2p + 6p = 9-1

8p = 8

p = 8/8 = 1 , abscisa x = 1

Ya tenemos las coordenadas del centro, porque la abscisa p = 1 y la ordenada q = 3, porque el diámetro calculado pasa por el centro y su ordenada y = 3 en todos los puntos de ese diámetro.

C(p,q) = C(1,3) , este es el centro de la circunferencia

Sustituyendo las coordenadas del centro en una ecuación de la circunferencia, calculamos el radio:

(3-p)² + (3-q)² = r² } Ecuación 2

(3-1)² + (3-3)² = r²

2² + 0 = r²

r² = 2²

r = √4 = 2, este es el radio de la circunferencia

Y con el centro y el radio, completamos la ecuación de esta circunferencia:

C(p,q) = (1,3) , coordenadas del centro de la circunferencia

r = 2 , radio de la circunferencia

(x-p)² + (y-q)² = r²

(x-1)² + (y-3)² = 2²