Question

Una parábola cuyo eje es x=1, pasa por los puntos (3,1) y (-2, 3). Hallar su ecuación.

Answer 1

La parábola con eje en x=1 y que pasa por los puntos (3,1) y (-2,3) tiene la ecuación $y=\frac{2}{5}x^2-\frac{4}{5}x-\frac{1}{5}$

Explicación paso a paso:

Si el eje de la parábola es x=1, esto significa que se cumple la siguiente relación entre los coeficientes:

$\frac{-b}{2a}=1\\-b=2a$

Teniendo dos puntos de la parábola, asumiendo la ecuación general, tenemos:

$a.3^2+b.3+c=1\\a.(-2)^2-2b+c=3$

Si ahora reemplazamos b por -2a haciendo uso de la relación para la abscisa del vértice queda:

$a.3^2-2a.3+c=1\\a.(-2)^2-2(-2a)+c=3\\\\9a-6a+c=1\\4a+4a+c=3\\\\3a+c=1\\8a+c=3$

Con lo que ahora queda resolver el sistema de ecuaciones. Si restamos la segunda ecuación a la primera tenemos:

$3a-8a+c-c=1-3\\-5a=-2\\a=\frac{2}{5}$

Con lo que queda:

$b=-2a=-2\frac{2}{5}=-\frac{4}{5}$

Ahora si hacemos la siguiente operatoria para eliminar la variable 'a' nos queda:

$8Ec_1-3Ec_2\\\\24a+8c=8\\24a+3c=9\\\\24a-24a+8c-3c=8-9\\5c=-1\\c=-\frac{1}{5}$

Con lo que la ecuación de la parábola queda:

$y=\frac{2}{5}x^2-\frac{4}{5}x-\frac{1}{5}$

En la imagen adjunta se observa su gráfica mostrando los puntos solicitados.