Determina la ecuación del lugar geométrico de un punto del plano que se mueve de tal forma que su
distancia al punto (2, 1) siempre es igual a su distancia a la recta x + 2y - 3 = 0.
Respuestas
Por las características del lugar geométrico, se observa que corresponde con la definición de parábola.
Sean (u, v) las coordenadas del lugar geométrico.
1) Distancia al punto (2, 1): d = √[(u - 2)² + (v - 1)²]
2) Distancia a la recta: d = (u + 2 v - 3) / √(1² + 2²)
Es conveniente elevar todo al cuadrado para eliminar las raíces. Queda:
5 [(u - 2)² + (v - 1)²] = (u + 2 v - 3)²
Quitamos los paréntesis.
5 u² - 20 u + 5 v² - 10 v + 25 =
= u² + 4 u v - 6 u + 4 v² - 12 v + 9
Reducimos términos semejantes e igualamos a cero.
Volvemos a la variable x e y, ya que ahora no hay confusión.
La ecuación del lugar geométrico es:
4 x²- 4 x y + y² - 14 x + 2 y + 16 = 0
Adjunto gráfico del lugar geométrico, del punto y de la recta realizado con un programa de matemática.
Mateo.
