Determine la ecuaci´on de la o las rectas que pasan por la intersecci´on de las rectas L1 : 3x + y − 9 = 0 y
L2 : 4x − 3y + 1 = 0, y que dista 2 unidades del origen
Respuestas
Buscamos el punto de intersección entre las dos rectas.
3 x + y - 9 = 0
4 x - 3 y + 1 = 0; multiplico por 3 a la primera:
9 x + 4 y - 27 = 0; sumamos con la segunda (se cancela y)
13 x - 26 = 0; x = 2
y = 9 - 3 x = 9 - 3 . 2 = 3
Punto de intersección P(2, 3)
Las infinitas rectas que pasan por este punto es
y - 3 = m (x - 2)
Podemos encontrar m de modo que cumpla con la tarea.
La escribimos en su forma general:
m (x - 2) - y + 3 = 0; m x - y - 2 m + 3 = 0
Distancia desde (h, k) hasta la recta A x + B y + C = 0 es:
d = (A h + B k + C) / [ ± √(A² + B²)]
El origen es (h, k) = (0, 0); d = 2
Es conveniente elevar al cuadrado.
2² = (m . 0 - 0 - 2 m + 3)² / (m² + 1)
Reordenamos: 4 (m² + 1) = (- 2 m + 3)²
4 m² + 4 = 4 m² - 12 m + 9; se cancela m²
4 = - 12 m + 9;
quedando m = 5/12
Hay una sola recta aparentemente. Pero siendo 2 la abscisa el punto de intersección, la recta vertical x = 2 está a 2 unidades del origen
Las rectas son entonces:
y - 3 = 5/12 (x - 2)
x = 2
Adjunto un gráfico con las 4 rectas. Agrego una circunferencia de radio 2 tal que resulta tangente a las dos rectas halladas.
Mateo.
