Question

Se tiene un capacitor esférico formado por dos cascarones esféricos concentricos y conductores, separados por vacío . El cascarón esferico interior tiene una carga LaTeX: +Q+ Q y radio exterior de 9.9LaTeX: cmc m y el cascarón esférico exterior tiene carga LaTeX: -Q− Q y radio interior 10.9LaTeX: cmc m. Los cascarones no están en contacto y se mantienen separados de manera fija por varillas aislantes que no tienen efecto sobre la capacitancia. La capacitancia de este condensador esférico (en LaTeX: pFp F) es

Answer 1

La capacitancia del capacitor esférico planteado es de 120 pF.

Explicación:

Si el capacitor está formado por dos esferas huecas y concéntricas, podemos aplicar a la esfera interna la ley de Gauss, tomando como superficie gaussiana una esfera concéntrica a las que forman el capacitor situada entremedio de estas:

$\int\limits^{}_{S} {E} \, dS =\frac{Q}{\epsilon_0}$

En esta esfera gaussiana el campo eléctrico es uniforme, por lo que nos queda:

$4\pi r^2.E=\frac{Q}{\epsilon_0}\\\\E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}$

Ahora la diferencia de potencial entre las dos esferas es la integral del campo eléctrico a lo largo de la distancia que las separa.

$V_{AB}=\int\limits^B_A {E} \, dr \\\\V_{AB}=\int\limits^B_A {\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}} \, dr =\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 }(\frac{1}{A}-\frac{1}{B})=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 }\frac{B-A}{AB}$

Siendo A el radio interno y B el radio externo, la relación entre la carga y la diferencia de potencial es la capacitancia:

$C=\frac{Q}{V}=\frac{Q}{\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r}\frac{B-A}{AB}}=4\pi\epsilon_0 r\frac{AB}{B-A}$

Reemplazando valores queda:

$\epsilon_0=8,85x10^{-12}\frac{C^2}{Nm^2}\\A=0,099m\\B=0,109m\\\\C=4\pi.8,85x10^{-12}\frac{0,099.0,109}{0,109-0,099}\\\\C=1,2x10^{-10}F=120pF$