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Explicación paso a paso:
una función será sobreyectiva si todo elemento "y" de B tiene por lo menos una preimagen "x" en A:
F (X) es sobreyectiva si: para todo "y" que pertenece a B, X pertenece a A/ f (x)= y
Por ejemplo:
Y= 5x +3, x pertenece a Df= R
F (X) =f( y -3/5)
= 5 (y-3) + 3
Por lo tanto dicha f (x)= y, es sobreyectiva
Respuesta:
AvanzadoMatemáticas IIIFunciones Elementales
Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas
Podemos clasificar las funciones atendiendo a la relación que guardan entre sí los elementos del dominio, del codominio y de la imagen. En este apartado veremos dicha clasificación, particularizando para el caso de las funciones reales:
Funciones invectivas
Funciones sobreyectivas
Funciones biyectivas
Antes de ir a por ello, es bueno que recuerdes:
Una función es una relación entre dos conjuntos en la que a cada elemento del primer conjunto le corresponde un único elemento del segundo conjunto
En la definición formal de función se da el conjunto inicial, denominado dominio, el conjunto final, denominado codominio, y la regla de correspondencia entre ellos. Por ejemplo, en:
El dominio es el conjunto de los números naturales,ℕ , el codominio es el conjunto de los números reales, ℝ ,y la regla de correspondencia es f(n)=πn.
El conjunto imagen o recorrido de la función es el subconjunto del codominio formado por los valores que realmente toma la función, una vez se aplica a los elementos del conjunto inicial o dominio. En el caso del ejemplo anterior sería el subconjunto de los reales y que se obtienen al aplicar, a cada número natural n, y=πn.
Dominio, codominio y recorrido de una función
En la función de nuestro ejemplo, el dominio es el conjunto formado por todos los números naturales. Aunque en ocasiones se confunden, observa la diferencia entre el codominio, formado por todos los reales, y el recorrido, un subconjunto de este cuyos valores cumplen la regla de correspondencia.
En una función real de variable real el dominio y el codominio (y por tanto el recorrido) son subconjuntos de los números reales
Funciones inyectivas
Una función es inyectiva cuando no hay dos elementos del dominio que tengan la misma imagen. Formalmente:
Es decir, para cualesquiera dos elementos a y b, pertenecientes al dominio de la función Domf, si sus imágenes f(a) y f(b) son iguales, los elementos son necesariamente iguales.
Inyectiva vs no inyectiva
A la izquierda, una función que asocia a cada persona su altura. A cada elemento del recorrido llega una sola flecha, por lo que la función es inyectiva. A la derecha, la función también asocia a cada persona su altura. En este caso el dominio es ligeramente distinto, y cuenta con una persona más que, curiosamente, tiene la misma altura que el oficinista despreocupado de su peso (1.80m). Como a ese elemento del recorrido llegan dos flechas, la función ya no es inyectiva.
Por tanto, si te piden una demostración de que una función no es inyectiva, puedes hallar dos valores distintos del dominio cuyas imágenes sean iguales. Si las encuentras, la función no es inyectiva.
En el caso de funciones reales, para saber si son inyectivas:
Cuando están dadas mediante una ecuación, podemos utilizar la propia definición. Así, la función f(x)=2·x+1 es inyectiva, pues:
Por otro lado, la función f(x)=x2 no es inyectiva pues:
Cuando están dadas gráficamente se trata de buscar dos imágenes iguales en la misma. Observa la siguiente ilustración y lo entenderás más claramente:
Gráficas de funciones inyectivas
A la izquierda, una función real inyectiva, frente a una que no lo es, a la derecha. La prueba para determinar si una función real es inyectiva, a partir de su gráfica, consiste en buscar una recta horizontal que pueda cortar a la gráfica en más de un punto. Si la encuentras, como en el caso de la gráfica derecha, la función no es inyectiva. Si no existe ninguna recta así, como en el caso de la izquierda, la función es inyectiva. En cada gráfica se han utilizado dos rectas de prueba.
No debes confundir la prueba de la recta vertical, utilizada para saber si una gráfica corresponde a una función, con la prueba de la recta horizontal, utilizada para saber si una función es inyectiva.
Ejemplos
F. INYECTIVA F. NO INYECTIVA
Funciones sobreyectivas
Una función es sobreyectiva, también llamada suprayectiva o exhaustiva, cuando el codominio y el recorrido coinciden. Formalmente:
Es decir, para cualquier elemento y del codominio existe otro elemento x del dominio tal que y es la imagen de x por f.
Las funciones reales son sobreyectivas cuando Recf=ℝ, ya que, por definición, en ellas Codf=ℝ.