me ayuda con este problema: una empresa de mercadotecnia que opera en el mercado financiero bajo la siguiente función de costos totales: CT=x² + 100x + 500. Un precio de venta dado es de $ 200 pesos por Unidad.
calcular:
• Para maximizar las utilidades, ¿Cuántas unidades debe producir la empresa?
• ¿A cuánto ascienden las utilidades? Se debe incluir su gráfica correspondiente.
Respuestas
La utilidad máxima obtenida es de 2000 pesos.
Explicación paso a paso:
La función Utilidad (g) es la diferencia entre la función Ventas (v) y la función Costo (c). La función v viene dada por el producto del precio de venta (p) por el número de unidades (x) producidas y vendidas.
v = p x ⇒ v = 200 x
g = v - c ⇒ g = 200 x - (x² + 100x + 500) ⇒
g = 100 x - x² - 500
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos el o los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de g.
g' = 100 - 2x
g' = 0 ⇒ 100 - 2x = 0 ⇒ x = 50
Este es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico considerado es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.
g'' = -2
Tercero, evaluamos la segunda derivada en cada punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.
g''(50) < 0 ⇒ x = 50 es un máximo de la función g.
Cuarto, evaluamos la función en el valor máximo de x y obtenemos el valor máximo de g; es decir, el valor de la mayor utilidad que se puede obtener. (ver figura anexa)
g(50) = 2000
La utilidad máxima obtenida es de 2000 pesos.
