Question

Juan esta en la parte inferior de la colina, mientras que pedro se encuentra 30 m arriba de la misma. Elegimos a juan como origen del sistema de coordenadas y la linea que sigue la pendiente de la colina esta dad por la ecuación y = 0,4 x. Si juan lanza una manzana a pedro con un ángulo de 50° respecto de la horizontal ¿Con que velocidad debe lanzar la manzana para que pueda llegar a pedro?

Answer 1

La velocidad a la que Juan debe lanzar la manzana  para que llegue a donde Pedro es $V_i=20,42m/s$

Datos

• Pendiente $y=0,4x$
• Ángulo $\theta =50^{o}$
• Distancia entre Juan y medro $H=30m$

Para calcular la altura y la distancia, usamos

$H^2=y^2+x^2$

Con la relación  y=0,4x, elevándola al cuadrado, se tiene

$y^2=0,16x^2$

De esta forma podemos sustituir la y en la ecuación primera, encontrando x, como sigue

$H^2=0,16x^2+x^2$

$x=\sqrt{\frac{H^2}{1,16}}$

Sustituyendo H, tenemos

$x=\sqrt{\frac{(30m)^2}{1,16}}=27,85m$

Que es la distancia en x, y sustituyendo en la pendiente, encontramos y

$y=0,4x=0,4(27,85m)=11,14m$

Para la velocidad en x  se tiene

$V_i\cos{\theta}=\frac{x}{t}$

Y para la posición en y se tiene

$y_f=V_i\sin{\theta}t-\frac{gt^{2}}{2}$

Despejando el tiempo en la primera, se puede introducir en la segunda, pero primero se obtiene el tiempo

$t=\frac{x}{V_i\cos{\theta}}$

Ahora introduciendo este tiempo, tenemos

$y_f=V\sin{\theta}(\frac{x}{V_i\cos{\theta}})-\frac{g(\frac{x}{V_i\cos{\theta}})^{2}}{2}$

Simplificando, tenemos

$y=\tan{\theta}x-\frac{gx^{2}}{2V_i^{2}\cos^{2}{\theta}}$

Despejando la velocidad, nos da

$V_i=\sqrt{\frac{gx^{2}}{2*\cos^{2}{\theta}*(\tan{\theta}x-y)}$

Introduciendo los datos en la ecuación

$V_i=\sqrt{\frac{9,8m/s^{2}(27.85m)^{2}}{2*\cos^{2}{50}*(\tan{50}*27,85m-11,14m)}}=20,42m/s$

Que es la velocidad con la que Juan debe lanzar la manzana.