Question

Lee y analiza el siguiente planteamiento: Un fabricante de artículos de papelería identificó que cuesta $1,500 producir 100 cuadernos en un día y $3,600 producir 300 cuadernos en un día. 2. En un archivo de un procesador de textos, desarrolla lo siguiente: Expresa el costo de producción como una función del número de cuadernos que se producen, suponiendo que es lineal. 3. Elabora la gráfica de la función en Excel o bien, utiliza una calculadora graficadora. ¿Cuál es la pendiente de la gráfica y qué representa? ¿Cuál es la intersección de la función con el eje y y qué representa? El costo de la producción ¿es continuo o presenta intervalos?

Answer 1

La función costo de producción es c(x)=10,5x+450

Explicación:

Si el costo de producción de cuadernos se considera lineal, podemos aplicar la ecuación punto-pendiente de la recta, conocidos dos puntos de ella, tenemos:

$y-y_0=m(x-x_0)\\\\m=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}\\\\y-y_0=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x-x_0)$

Ya que conocemos dos puntos de la recta, tenemos:

$(x_0,y_0)=(100,1500)\\(x_1,y_1)=(300,3600)\\\\y-1500=\frac{3600-1500}{300-100}(x-100)\\\\y-1500=10,5(x-100)\\\\y=10,5x+450$

En esta función 'x' es la cantidad de cuadernos e 'y' el costo, graficando la función nos queda como en la imagen adjunta.

En ella, tenemos la pendiente de la función, que si la analizamos es:

$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}\\\Delta x=1=>m=\Delta y$

Nos encontramos con que es el costo unitario total de cada cuaderno, mirando la expresión que hallamos, $10,5 es lo que cuesta fabricar cada cuaderno.

La intersección con el eje y es $450 según la ecuación que hallamos. Este es el punto donde la producción de cuadernos es cero, con lo que representaría el costo de tener la fábrica abierta sin producir.

Por último si bien la función vista intrínsecamente es continua para todos los reales, bajando a este caso práctico, no se puede tener producción negativa, por ende quedaría definida como:

C(x)=10,5x+450   si     x>0

Introduciéndose una discontinuidad de segunda especie en x=0.