Question

4.- Las tres opciones principales en un tipo de carro nuevo son una transmisión automática (A),

un quemacocos (B) y un estéreo con reproductor de discos compactos (C). Si 70% de

todos los compradores solicitan A, 80% solicitan B, 75% solicitan C, 85% solicitan A o B, 90%

solicitan A o C, 95% solicitan B o C y 98% solicitan A o B o C, calcule las probabilidades

de los siguientes eventos. [Sugerencia: “A o B” es el evento en que por lo menos una de las dos

opciones es solicitada; trate de trazar un diagrama de Venn y rotule todas

las regiones.]

a. El siguiente comprador solicitará por lo menos una de las tres opciones.

b. El siguiente comprador no seleccionará ninguna de las tres opciones.

c. El siguiente comprador solicitará sólo una transmisión automática y ninguna otra de las otras

dos opciones.

d. El siguiente comprador seleccionará exactamente una de estas tres opciones.
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Answer 1

En cuanto al siguiente comprador, hay un 98% de que elija alguna de las tres opciones, 2% de probabilidad de que no elija ninguna opción, 3% de que elija solo la transmisión automática y 24% de que elija una sola de las tres opciones.

Explicación:

La situación del problema se grafica en la figura adjunta mediante los diagramas de Venn. Donde podemos ver todas las probabilidades del problema.

a) La probabilidad de que el comprador solicite por lo menos una de las tres opciones es la disjunción de todas las opciones, en el gráfico adjunto corresponde a toda la región abarcada por los conjuntos. Y equivale a la probabilidad de solicitar A o B o C dada por el problema:

$P(A\cup B\cup C)=0,98$

b) La probabilidad de no elegir ninguna opción es la conjunción de la negación de los tres eventos:

$P(\~A\cap \~B \cap \~C)$

Si aplicamos las leyes de de Morgan a esta expresión queda:

$P(\~A\cap \~B \cap \~C)=P(\neg(A\cup B \cup C))=1-P(A\cup B\cup C)$

Reemplazando queda:

$P(\~A\cap \~B \cap \~C)=1-0,98=0,02$

c) En el gráfico la probabilidad de que el siguiente cliente prefiera solo una caja automática y ninguna de las otras, corresponde a la región verde. Por lo que la probabilidad es:

$P(sA)=P(A\cup B\cup C)-P(B\cup C)=0,98-0,95=0,03$

d) Siguiendo la misma lógica para las probabilidades de elegir solo B y solo C tenemos:

$P(sB)=P(A\cup B\cup C)-P(A\cup C)=0,98-0,9=0,08\\P(sC)=P(A\cup B\cup C)-P(A\cup B)=0,98-0,85=0,13$

Como las probabilidades de elegir solo A, solo B y solo C son incompatibles entre sí, la probabilidad de elegir exactamente una opción es:

$P(sA\cup sB\cup sC)=0,03+0,08+0,13=0,24$