Question

d)Una esfera de radio R tiene una densidad de carga ß/r, donde ß es una constante y r es la distancia al centro de la esfera. Calcula el campo eléctrico como función de r para:

-Puntos interiores a la esfera (r < R).

-Puntos exteriores a la esfera (r > R).

Answer 1

En el interior de esta esfera el campo eléctrico es uniforme y de valor $E=\frac{\beta}{2\epsilon}$, mientras que en el exterior de la esfera el campo eléctrico es $E=\frac{\beta R^2}{2r^2}$, donde r es la distancia al centro de la esfera.

Explicación:

Para hallar el campo eléctrico dentro y fuera de la esfera aplicamos la ley de Gauss, la cual prescribe que el flujo eléctrico es la relación entre la carga encerrada por la superficie gaussiana y la permisividad dieléctrica:

$\int\limits^{}_S {E} \, dS =\frac{Q}{\epsilon}$

Puntos interiores de la esfera:

Tomamos como superficie gaussiana una esfera centrada en el centro de la esfera bajo estudio, interior a esta, la carga encerrada por esta superficie es:

$\rho=\frac{\beta}{r}\\\\Q=\int\limits^r_0 {\frac{\beta}{r}} \, dV$

Donde el elemento diferencial de volumen puede ser un cascarón esférico de espesor dr, nos queda:

$dV=\frac{4}{3}\pi (r+dr)^3-\frac{4}{3}\pi r^3\\\\dV=\frac{4}{3}\pi (r^3+3r^2dr+3rdr^2-dr^3)-\frac{4}{3}\pi r^3\\\\dV=\frac{4}{3}\pi (3r^2dr+3rdr^2-dr^3)\\\\3r^2dr>>3rdr^2-dr^3=>dV\simeq 4\pi r^2dr$

Con lo cual la carga encerrada por la esfera gaussiana es:

$Q=\int\limits^r_0 {\frac{\beta}{r}}4\pi r^2 \, dr=\int\limits^r_0 {\beta}4\pi r \, dr\\\\Q=2\pi\beta r^2$

En la superficie gaussiana el campo eléctrico es uniforme, nos queda:

$E.4\pi r^2=\frac{2\pi\beta r^2}{\epsilon}\\\\E=\frac{\beta}{2\epsilon}$

Encontrándonos con que dentro de la esfera el campo eléctrico es uniforme.

Puntos exteriores de la esfera.

Aquí tomamos como superficie gaussiana una esfera concéntrica con la esfera bajo estudio pero exterior a esta, la carga encerrada por esta superficie es la carga encerrada por toda la esfera. La cual, aprovechando el desarrollo integral anterior, es:

$Q=2\pi\beta R^2$

Y si aplicamos la ley de Gauss suponiendo uniforme el campo eléctrico en toda la superficie gaussiana:

$\int\limits^{}_S {E} \, dS =\frac{Q}{\epsilon_0}\\\\E.4\pi r^2=\frac{Q}{\epsilon_0}\\\\E=\frac{Q}{4\pi r^2}=\frac{2\pi\beta R^2}{4\pi r^2}=\frac{\beta R^2}{2r^2}$