Question

las temperaturas en grados Celsius medidas en un experimento se consideran normales. Si se tomaron las siguientes muestras: 22,24,22,25,30,28,29,28,24,23,25,27,26,23,24,21,22,21,25,21,23,24,21,20,21,20,22,28,27,31.
Construir los intervalos de 95 y 99% de confianza para el promedio poblacional de µ.

Answer 1

De acuerdo al análisis de la muestra aleatoria proporcionada, el 95% de las temperaturas están entre 18,3°C y 30,2°C, mientras que el 99% de las temperaturas están entre 16,4°C y 32,1°C.

Explicación:

Si las temperaturas se consideran normales, empezamos hallando los estimadores para la esperanza de la variable temperatura y para la desviación estándar. Teniendo una muestra aleatoria, estos estimadores son:

$\mu=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n}a_i\\\\\sigma=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=0}^n(a_i-\mu)^2}$

De modo que el estimador de la esperanza para este conjunto de datos es:

$\mu=\frac{\sum_{i=1}^{30}T_i}{30}\\\\\sum_{i=1}^{30}T_i=22+24+22+25+30+28+29+28+24+\\+23+25+27+26+23+24+21+22+21+25+21+23+24+21+20+\\+21+20+22+28+27+31=727\°C\\\\\mu=\frac{727\°C}{30}=24,23\°C$

Y el estimador del desvío estándar es:

$\sigma=\sqrt{\frac{1}{30}\sum_{i=1}^{30}(a_i-\mu)^2}$

Y aquí tenemos que hallar el valor de cada uno de los elementos:

T1-μ=22-24,23=-2,23

T2-μ=24-24,23=-0,23

T3-μ=22-24,23=-2,23

T4-μ=25-24,23=0,77

T5-μ=30-24,23=5,77

T6-μ=28-24,23=3,77

T7-μ=29-24,23=4,77

T8-μ=28-24,23=3,77

T9-μ=24-24,23=-0,23

T10-μ=23-24,23=-1,23

T11-μ=25-24,23=0,77

T12-μ=27-24,23=2,77

T13-μ=26-24,23=1,77

T14-μ=23-24,23=-1,23

T15-μ=24-24,23=-0,23

T16-μ=21-24,23=-3,23

T17-μ=22-24,23=-2,23

T18-μ=21-24,23=-3,23

T19-μ=25-24,23=0,77

T20-μ=21-24,23=-3,23

T21-μ=23-24,23=-1,23

T22-μ=24-24,23=-0,23

T23-μ=21-24,23=-3,23

T24-μ=20-24,23=-4,23

T25-μ=21-24,23=-3,23

T26-μ=20-24,23=-4,23

T27-μ=22-24,23=-2,23

T28-μ=28-24,23=3,77

T29-μ=27-24,23=2,77

T30-μ=31-24,23=6,77

Ahora la sumatoria que necesitamos es:

$\sum_{i=1}^{30}(a_i-\mu)=(-2,23)^2+(-0,23)^2+(-2,23)^2+(0,77)^2+(5,77)^2+(3,77)^2+(4,77)^2+(3,77)^2+\\(-0,23)^2+(-1,23)^2+(0,77)^2+(2,77)^2+(1,77)^2+(-1,23)^2+(-0,23)^2+(-3,23)^2+(-2,23)^2+(-3,23)^2+\\(0,77)^2+(-3,23)^2+(-1,23)^2+(-0,23)^2+(-3,23)^2+(-4,23)^2+(-3,23)^2+(-4,23)^2+(-2,23)^2+(3,77)^2+\\+(2,77)^2+(6,77)^2=277,367$

Y el desvío estándar es:

$\sigma=\sqrt{\frac{277,367}{30}}=3,04\°C$

Ahora hay que hallar el intervalo de confianza del 95%, los extremos de este intervalo son:

$1-\alpha=0,95\\\alpha=0,05$

Vamos a las tablas de distribución normal y sacamos los valores de z, tales que:

$P(z\leq z_{sup})=1-\frac{\alpha}{2}=0,975=> z_{sup}=1,96\\\\P(z\leq z_{inf})=\frac{\alpha}{2}=0,025=> z_{sup}=-1,96$

Con lo que los extremos del intervalo de confianza al 95% son:

$z_{sup}=\frac{X-\mu}{\sigma}\\\\\sigma.z_{sup}+\mu=X_{sup}; \sigma.z_{inf}+\mu=X_{inf} \\X_{sup}=3,04.1,96+24,23=30,2\°C\\\\X_{inf}=3,04.(-1,96)+24,23=18,3\°C$

Hago lo mismo para hallar el intervalo de confianza al 99%:

$1-\alpha=0,99=> \alpha=0,01\\\\P(z\leq z_{sup})=1-\frac{\alpha}{2}=0,995=> z_{sup}=2,58\\P(z\leq z_{inf})=\frac{\alpha}{2}=0,005=> z_{inf}=-2,58$

Y los límites del intervalo son:

$X_{sup}=3,04.2,58+24,23=32,1\°C\\\\X_{inf}=3,04.(-2,58)+24,23=16,4\°C$