Question

Me pueden ayudar con este problema

Answer 1

$f(x)=2+\sqrt{x-5}+\dfrac{1}{\sqrt{x-5}}\\ \\ \\\bullet ~ \text{Dominio de la funci\'on: }\\ \\\text{como x-5 est\'a dentro de una ra\'iz cuadrada entonces }x-5\geq0 \to x\geq 5\\\\\text{pero \sqrt{x-5} es denominador de una fracci\'on, por ende }x-5\neq0\text{ o sea }\\\\x>5\text{. No se ven m\'as restricciones para x , por ende Dom f = (5,+\infty) }$

$\bullet~ \text{sea }w =\sqrt{x-5}\text{ entonces }f(x)=g(w)=2+w+\dfrac{1}{w}\\ \\\text{L\'ineas arriba concluimos que w>0 , por ello tambi\'en \frac{1}{w}>0 , es decir}\\\text{ w+\dfrac{1}{w}>0\to g(w)>2 . Pero intentemos hallar el m\'inimo de g :}\\\\\dfrac{dg}{dw}(w_0)=1-\dfrac{1}{w_0^2}=0\to w_0=1\\ \\\\\dfrac{d^2g}{dw^2}(w_0)=\dfrac{2}{w_0^3}\to\dfrac{d^2g}{dw^2}(1)=2>0\\ \\\text{Por consiguiente w_0=1 es un punto de m\'inimo }g_{\min}=g(1)=4\\\\\text{Ran }f=\text{Ran }g=[4,+\infty)$

$\text{Dom }f\cap \text{Ran }f=(5,+\infty)$