Dada la siguiente función:
f(x)=x^2/4 - 3/2x - 27/4
Hallar:
a) El discriminante
b) Hallar las raíces o puntos de corte de la función
c) Hallar el dominio
d) Hallar el rango
e) Grafique la función
Respuestas
El discriminante es: 9, las raíces 9 y - 3, el dominio los reales y el rango y ∈ [-9, ∞)
Para una función ax² + bx + c
El discriminaste d = es b² - 4ac
Las raices: (-b ± √d)/2*a
El dominio: los reales
El rango: se determina consiguiente el mínimo o máximo y si es mínimo es todos los valores de y por encima y si es máximo todos los valores por debajo
Por lo tanto:
x²/4 - 3/2*x - 27/4
d = (-3/2)² - 4*(1/4)(-27/4)
= 9/4 + 27/4 = 36/4 = 9
La raíces:
(3/2 ± √9)/(2*(1/4) = (3/2 ± 3)/(1/2) = 2* (3/2 ± 3) = 3 ± 6
Una raíz es: 3 + 6 = 9
La otra es: 3 - 6 = -3
Dominio: los reales
Rango:
Derivamos la función e igualamos a cero:
2x/4 - 3/2 = x/2 - 3/2 = 0
x/2 = 3/2 ⇒ x = 3
Segunda derivada: 1/2 >0, entonces x = 3 es un mínimo y el valor de y en ese punto es:
y = f(x)=3²/4 - 3/2*3 - 27/4
= 9/4 - 9/2 - 27/4 = (9 - 18 - 27)/4 = -9
Rango es y ∈ [-9, ∞)
La funcion se grafica en la imagen adjunta
