Question

Un filtro analógico se encuentra representado por la siguiente función de transferencia:
H(s)=(200*a*s^2)/(s^2+282.8s+20000)

Determine:
a) Encuentre los valores de la frecuencia natural del sistema 0 y el coeficiente de amortiguamiento
b) La ganancia máxima del filtro en dB
c) Determine la(s) frecuencia(s) en la cual se presenta la ganacia del sistema
d) El ancho de banda
e) La respuesta al impulso del filtro en el dominio del tiempo (ℎ()).
f) La respuesta en estado estable para una entrada 1()=2cos(0.01+)
g) La respuesta en estado estable para una entrada 2()=2cos(200+)
h) La respuesta en estado estable para una entrada 3()=2cos(1000)
i) Utilice software para verificar sus resultados

Answer 1

En este ejercicio tenemos para el filtro la siguiente transferencia en el dominio de Laplace:

$H(S)=\frac{200aS^2}{S^2+282.8S+20000}$

a) El filtro tiene un cero doble en S=0 y si factorizamos el denominador de la transferencia queda:

$H(S)=\frac{200aS^2}{(S+141,4)^2}$

Dandonos un polo doble en S=141,4, siendo la frecuencia natural del sistema:

$f_c=\frac{141,4}{2\pi}=22,4Hz$

El denominador lo podemos expresar también como:

$S^2+2\delta w_0S+w_0^2$

Donde tenemos para el coeficiente de amortiguamiento:

$2\delta w_0=282,8\\2\delta .141,4=282,8\\\delta=1$

Con lo cual, la frecuencia natural es 22,4Hz y el coeficiente de amortiguamiento es 1.

b) La ganancia máxima del filtro la tenemos cuando el módulo de esta es máximo para lo cual hay que igualar la derivada a cero:

$H(jw)=\frac{200a(jw)^2}{(jw+141,4)^2}\\\\||H(S)||=\frac{200aw^2}{141,4^2+w^2}\\\\\frac{d||H(jw)||}{dw}=\frac{400aw(141,4^2+w^2)-200aw^2.2w}{(141,4^2+w^2)^2}=0\\\\8x10^{-6}aw+400aw^3-400aw^3=0$

La función no tiene un máximo, luego tenemos que en cero la transferencia vale cero, y luego:

$\lim_{w \to \infty} ||H(w)||= \lim_{w \to \infty} \frac{200aw^2}{141,4^2+w^2}=200a$

Tenemos que la función tiende asintóticamente a una ganancia de 200a, lo que equivale a

$H(w)[dB]_max=20log(200a)=46dB+20log(a)$

Con lo cual la ganancia máxima del filtro es de 46dB+20log(a)[dB].

c) Habíamos visto que la ganancia máxima se presenta a frecuencias muy altas por ende la tendremos cuando la frecuencia tienda a infinito, luego el filtro es pasaaltos.

d) De los resultados anteriores tenemos que el filtro tiene infinito ancho de banda.

e) Nos dan la transferencia en el dominio de Laplace, la transformada de laplace de un impulso es igual a 1, por ende la respuesta al impulso es igual a la transferencia. No hay más que pasarla a dominio temporal:

$H(S)=\frac{200aS^2}{(S+141,4)^2}</p><p>Puedo usar la <strong>propiedad de la derivada de la transformada</strong> para resolverla:</p><p>[tex]H(S)=\frac{200a}{(S+141,4)^2}S^2\\\\S^2L^{-1}{\frac{200a}{(S+141,4)^2}}=\frac{d^2h(t)}{dt}\\\\\\\frac{d^2h(t)}{dt}=te^{-141,4t}.u(t)$

Ahora tenemos que integrar esa función dos veces para hallar la transferencia:

$\int\limits^a_b {te^{-141,4t}} \, dt \\\\u=t; dv=e^{-141,4t}\\\\\frac{dh}{dt}=\frac{te^{-141,4t}}{-141,4}-\frac{1}{-141,4}\int\limits^a_b {e^{-141,4t}} \, dt \\\frac{dh}{dt}=\frac{te^{-141,4t}}{-141,4}-\frac{e^{-141,4t}}{20000}\\ \\h(t)=\frac{te^{-141,4t}}{20000}+\frac{e^{-141,4t}}{2820000}-\frac{e^{-141,4t}}{20000}$

Siendo esta la respuesta al impulso unitario.

f, g, h), podemos usar la expresión equivalente del régimen armónico para esta parte del análisis:

$H(jw)=\frac{-200aw^2}{-w^2+j282.8w+20000}$

En cada función senoidal el argumento que acompaña a la variable tiempo es la pulsación w, y la amplitud se multiplica por la transferencia queda, para v(t)=2Vcos(0,01t):

$H(j0,01)=2\frac{-200a.0,01^2}{-(0,01)^2+j282.8.0,01+20000}=2\frac{-200a.0,01^2}{-(0,01)^2+j282.8.0,01+20000}=\frac{-0,04a}{20000-j2,828}\\\\|H|=2x10^{-6}aV; \phi=180\°$

Para v(t)=2Vcos(200t):

$H(j0,01)=2\frac{-200a.200^2}{-(200)^2+j282.8.200+20000}=\frac{-16000000a}{-40000-j56560}\\\\|H|=231aV); \phi=125\°$

Y para v(t)=2Vcos(1000t):

$H(j0,01)=2\frac{-200a.1000^2}{-(1000)^2+j282.8.1000+20000}=\frac{-4x10^8a}{-980000-j282800}\\\\|V_o|=392aV; \phi=164\°$

Lo que confirma que es un filtro pasaaltos.

i) Los resultados se pueden comprobar usando simulink, creando un bloque que tenga la función propuesta, con un osciloscopio a su salida, fuentes que provean impulsos para comprobar el punto (e), y para los puntos g, h e i fuentes senoidales. La respuesta en frecuencia se puede obtener usando en Matlab los comandos:

Func=tf([200,0,0][1,282.8,20000])

bode(Func,{1,2000})

Donde el 1 es la resolución y el 2000 es el fondo de escala, o sea hasta qué frecuencia va a graficar.

Se adjunta el  diagrama de Bode generado con el software GNU/Octave, comprobando que se trata de un filtro pasaaltos.