Un contenedor que transporta desechos peligrosos se fabrica de plástico pesado y se
forma al unir dos hemisferios a los extremos de un cilindro circular . El volumen total del contenedor es de 30 3
. El costo por pie cuadrado
para los extremos es una vez y media el costo por pie cuadrado del plástico usado en
la parte cilíndrica. Encuentre las dimensiones del contenedor de modo que su costo de
producción sea mínimo.

Respuestas

Respuesta dada por: LeonardoDY
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Las dimensiones del contenedor que minimizan el  costo de fabricación son 1,17ft de radio tanto de la parte cilíndrica como de los extremos y 4,06ft de longitud de la parte cilíndrica.

Explicación:

Tenemos que el contenedor se compone de dos hemisferios y un cilindro sin tapas con lo que el volumen es:

V=\pi r^2h+\frac{4}{3}\pi r^3=\pi r^2(h+\frac{4}{3}r)

Y el área de material a utilizar considerando la cara lateral del cilindro y los dos hemisferios es:

A=4\pi r^2+2\pi rh

Si el costo para los extremos es 1,5 el costo de los laterales la función costo queda:

C=1,5c(4\pi r^2)+c(2\pi rh)=c(6\pi r^2+2\pi rh)

De la expresión del volumen despejamos la altura:

V=\pi r^2h+\frac{4}{3}\pi r^3\\\\\pi r^2h=V-\frac{4}{3}\pi r^3\\\\h=\frac{V-\frac{4}{3}\pi r^3}{\pi r^2}=\frac{3V-4\pi r^3}{4\pi r^2}

y la función costo queda:

C=c(6\pi r^2+2\pi r\frac{3V-4\pi r^3}{4\pi r^2})=c(6\pi r^2+ \frac{3V-4\pi r^3}{2r})\\\\C=c\frac{12\pi r^3+3V-4\pi r^3}{2r}\\\\C=c\frac{8\pi r^3+3V}{2r}

Esta expresión es la que hay que minimizar, para que una función tenga en un punto x0 un mínimo, las derivadas tienen que ser:

f'(x_0)=0\\f''(x_0)>0

Derivamos la función costo usando la regla del cociente:

C'=c\frac{24\pi r^2.2r-2(8\pi r^3+3V)}{4r^2}=c\frac{36\pi r^3-6V}{4r^2}

La derivada segunda es:

C''=c\frac{108\pi r^2.4r^2-8r(36\pi r^3-6V)}{16r^4}=c\frac{128\pi r^4+48Vr}{16r^4}

La cual será siempre positiva por lo que el extremo que hallemos será un mínimo. Igualamos a cero la derivada para lo cual alcanza con anular el numerador:

36\pi r^3-6V=0\\\\36\pi r^3=6V\\\\r=\sqrt[3]{\frac{6V}{36\pi}}=\sqrt[3]{\frac{6.30ft^3}{36\pi}}=1,17ft

Con lo que 1,17ft es el radio que hace mínimo el costo del contenedor, de la expresión del volumen despejamos la longitud de la parte cilíndrica:

h=\frac{3V-4\pi r^3}{4\pi r^2}=\frac{3.30-4\pi .1,17^3}{4\pi 1,17^2}=4,06ft

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