Question

Un contenedor que transporta desechos peligrosos se fabrica de plástico pesado y se
forma al unir dos hemisferios a los extremos de un cilindro circular . El volumen total del contenedor es de 30 3
. El costo por pie cuadrado
para los extremos es una vez y media el costo por pie cuadrado del plástico usado en
la parte cilíndrica. Encuentre las dimensiones del contenedor de modo que su costo de
producción sea mínimo.

Answer 1

Las dimensiones del contenedor que minimizan el  costo de fabricación son 1,17ft de radio tanto de la parte cilíndrica como de los extremos y 4,06ft de longitud de la parte cilíndrica.

Explicación:

Tenemos que el contenedor se compone de dos hemisferios y un cilindro sin tapas con lo que el volumen es:

$V=\pi r^2h+\frac{4}{3}\pi r^3=\pi r^2(h+\frac{4}{3}r)$

Y el área de material a utilizar considerando la cara lateral del cilindro y los dos hemisferios es:

$A=4\pi r^2+2\pi rh$

Si el costo para los extremos es 1,5 el costo de los laterales la función costo queda:

$C=1,5c(4\pi r^2)+c(2\pi rh)=c(6\pi r^2+2\pi rh)$

De la expresión del volumen despejamos la altura:

$V=\pi r^2h+\frac{4}{3}\pi r^3\\\\\pi r^2h=V-\frac{4}{3}\pi r^3\\\\h=\frac{V-\frac{4}{3}\pi r^3}{\pi r^2}=\frac{3V-4\pi r^3}{4\pi r^2}$

y la función costo queda:

$C=c(6\pi r^2+2\pi r\frac{3V-4\pi r^3}{4\pi r^2})=c(6\pi r^2+ \frac{3V-4\pi r^3}{2r})\\\\C=c\frac{12\pi r^3+3V-4\pi r^3}{2r}\\\\C=c\frac{8\pi r^3+3V}{2r}$

Esta expresión es la que hay que minimizar, para que una función tenga en un punto x0 un mínimo, las derivadas tienen que ser:

$f'(x_0)=0\\f''(x_0)>0$

Derivamos la función costo usando la regla del cociente:

$C'=c\frac{24\pi r^2.2r-2(8\pi r^3+3V)}{4r^2}=c\frac{36\pi r^3-6V}{4r^2}$

La derivada segunda es:

$C''=c\frac{108\pi r^2.4r^2-8r(36\pi r^3-6V)}{16r^4}=c\frac{128\pi r^4+48Vr}{16r^4}$

La cual será siempre positiva por lo que el extremo que hallemos será un mínimo. Igualamos a cero la derivada para lo cual alcanza con anular el numerador:

$36\pi r^3-6V=0\\\\36\pi r^3=6V\\\\r=\sqrt[3]{\frac{6V}{36\pi}}=\sqrt[3]{\frac{6.30ft^3}{36\pi}}=1,17ft$

Con lo que 1,17ft es el radio que hace mínimo el costo del contenedor, de la expresión del volumen despejamos la longitud de la parte cilíndrica:

$h=\frac{3V-4\pi r^3}{4\pi r^2}=\frac{3.30-4\pi .1,17^3}{4\pi 1,17^2}=4,06ft$