Question

Un fabricante de atún dispone de latón para fabricar las latas cilíndricas, si el volumen estándar es de 100 ml, ¿cuál debe ser el radio y la altura del cilindro para que la cantidad de latón sea mínima?

Answer 1

El radio y la altura del cilindro para que la cantidad de latón sea mínima es:

r = 2.5 ml

h = 5 ml

Explicación paso a paso:

Volumen de cilindro;

V = π·r²·h

Sustituir;

100 = π·r²·h

Despejar h;

h = 100/π·r²

El área del cilindro;

At = 2π·r² + 2π·r·h

Sustituir h;

At = 2π·r² + 2π·r·(100/π·r²)

At = 2π·r² +200π·r/π·r²

At = 2π·r² + 200/r

Aplicar derivada;

At' = d/dr([2π·r²+ 200]/r)

d/dr(2πr²) = 4π·r

d/dr(200/r) = -200/r²

Sustituir;

At' =  4π·r -200/r²

Igualar a cero;

4π·r -200/r² = 0

Despejar r;

200/r² = 4π·r

r³ = 200/4π

Aplicar raíz cúbica a ambos lados;

r = ∛(200/4π)

r = 2.5 ml

Sustituir en h;

h = 100/π·r²

h = 100/ π·(2.5)²

h = 5 ml

Answer 2

El radio y la altura del cilindro para que la cantidad de latón sea mínima es de  126,16 mm y de 2mm respectivamente

Explicación paso a paso:

Datos:

V = 100ml(1000 mm³/1 ml) = 100.000 mm³

1 mililitro = 1000 milímetros cúbicos

Volumen de cilindro:

V = π*r²*h

100.000 = πr²*h

h = 100.000/π·r²

El área del cilindro;

A = 2πr² + 2πrh

Reemplazamos el valor de h

A = 2πr² + 2πr(100.000/π·r²)

A = 2πr² +200.000πr/πr²

A = 2πr² + 200.000/r

Derivamos e igualamos a cero para obtener la cantidad de latón que sea mínima

A' = [2π·r²+ 200.000]/r

A' = 4πr-200.000/r²

4πr -200.000/r² = 0

200.000/r² = 4πr

r³ = 200.000/4π

r = ∛(200.000/4π)

r = 126,16 mm

Sustituir en h;

h = 100000/πr²

h = 100.000/ π(126.16)²

h = 2 mm

El radio y la altura del cilindro para que la cantidad de latón sea mínima es de  126,16 mm y de 2mm respectivamente

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