Question

Juan tiene un cultivo de bacterias y empieza con 218700 bacterias al cabo de una hora tiene 72900, después de dos horas tiene 24300 ¿ a razon de cuanto mueren las bacterias? ¿ cuál es el modelo matemático( fórmula del enésimo terminó) que representa este fenómeno? ¿qué cantidad de bacterias queda al cabo de 7 horas? ​

Answer 1

Tarea:

Juan tiene un cultivo de bacterias y empieza con 218700 bacterias al cabo de una hora tiene 72900, después de dos horas tiene 24300

1. ¿A razón de cuánto mueren las bacterias?
2. ¿Cuál es el modelo matemático (fórmula del enésimo término) que representa este fenómeno?
3. ¿Qué cantidad de bacterias queda al cabo de 7 horas? ​

Respuesta:

1. La razón es 1/3
2. El modelo matemático es:  $a_n=218700*(\dfrac{1}{3}) ^{n-1}$
3. Quedarán 300 bacterias.

Explicación paso a paso:

Para saber la razón hay que dividir el segundo término entre el primero y después el tercero entre el segundo para confirmar que se trata de una progresión geométrica (PG).

Realizando esas operaciones se comprueba que la razón es 1/3, es decir que cada hora que pasa, el nº de bacterias ha quedado reducido a la tercera parte de las que había antes.

Si usamos esa razón veremos que se obtienen los términos consecutivos.

• 1º término = 218700
• 2º término = 218700 × (1/3) = 72900
• 3º término = 72900 × (1/3) = 24300

Así pues, tenemos la respuesta a la primera pregunta.

La razón es 1/3, que es lo mismo que decir que en una hora mueren dos tercios del nº inicial de bacterias.

Tenemos pues una PG con los datos:

• 1º término de la PG = 218700
• Razón de la PG = 1/3

Para la segunda cuestión, se acude a la fórmula del término general de las progresiones geométricas:

$a_n=a_1*r^{n-1}$  ... sustituyo los datos conocidos...

$a_n=218700*(\dfrac{1}{3}) ^{n-1}$

Y aquí queda la respuesta a la 2ª pregunta que es el modelo matemático o término general de esta PG.

Para la tercera cuestión ya solo hay que usar la fórmula anterior sustituyendo "n" por el nº 7 que es el nº de orden del séptimo término y para el que hallaremos su valor y representará al término a₇.

$a_7=218700*(\dfrac{1}{3}) ^{7-1}=218700*\dfrac{1}{3^6}=\dfrac{218700}{729}=300$

Con ello sabemos que al cabo de 7 horas quedarán 300 bacterias.

Saludos.