Question

Dada la siguiente matriz . Calcular el rango por el método de Gauss Jordán 2. Calcular el rango por el método de determinantes 3. Indique si existe dependencia o independencia lineal.

Answer 1

El rango de la matriz por:  

1. Método de Gauss Jordan.  

Rango(B) = 4  

2. Método de determinantes.  

Rango(B) = 4

3. Es un sistema linealmente dependiente o independiente .  

Al aplicar el método de Gauss Jordan se puede ver que ninguna fila o columna es nula por lo tanto es linealmente independiente los elementos de la matriz.  

Explicación:  

Dada;  

$\left[\begin{array}{ccccc}9&-12&2&1&3\\1&3&1&3&0\\0&-9&3&1&1\\1&4&0&-4&3\end{array}\right]$

1. Se reducirá la matriz aplicando el método de Gauss Jordan, llevarla a la identidad y el rango sera el número de filas diferentes de cero.  

$\left[\begin{array}{ccccc}9&-12&2&1&3\\1&3&1&3&0\\0&-9&3&1&1\\1&4&0&-4&3\end{array}\right]$

f₁ → f₂

$=\left[\begin{array}{ccccc}1&3&1&3&0\\9&-12&2&1&3\\0&-9&3&1&1\\1&4&0&-4&3\end{array}\right]$

f₂-9f₁  

f₄-f₁  

$=\left[\begin{array}{ccccc}1&3&1&3&0\\0&-39&-7&-24&3\\0&-9&3&1&1\\0&1&-1&-7&3\end{array}\right]$

f₂ → f₄  

$=\left[\begin{array}{ccccc}1&3&1&3&0\\0&1&-1&-7&3\\0&-9&3&1&1\\0&-39&-7&-24&3\end{array}\right]$

f₃+9f₂  

f₄+3f₂  

$=\left[\begin{array}{ccccc}1&3&1&3&0\\0&1&-1&-7&3\\0&0&-6&-62&28\\0&0&-46&-299&120\end{array}\right]$

-1/6f₃

$=\left[\begin{array}{ccccc}1&3&1&3&0\\0&1&-1&-7&3\\0&0&1&31/3&14/3\\0&0&-46&-299&120\end{array}\right]$

f₄+46f₃

[$=\left[\begin{array}{ccccc}1&3&1&3&0\\0&1&-1&-7&3\\0&0&1&31/3&14/3\\0&0&0&529/3&1004/3\end{array}\right]$

3/529f₄

[$=\left[\begin{array}{ccccc}1&3&1&3&0\\0&1&-1&-7&3\\0&0&1&31/3&14/3\\0&0&0&1&1004/529\end{array}\right]$

Rango(B) = 4

2. Se debe tener una matriz cuadrada para aplicar determinante. Su rango sera mayor o igual a 4 si el determinante de las sub matices de orden 4 es diferente de cero.  

$\left[\begin{array}{cccc}9&-12&2&1\\1&3&1&3\\0&-9&3&1\\1&4&0&-4\end{array}\right]$

Diagonalizar la matriz;

$det=\left[\begin{array}{cccc}9&-12&2&1\\1&3&1&3\\0&-9&3&1\\1&4&0&-4\end{array}\right]$

f₂-f₁/9

f₄-f₁/9

$det=\left[\begin{array}{cccc}9&-12&2&1\\0&13/3&7/9&26/9\\0&-9&3&1\\0&16/3&-2/9&-37/9\end{array}\right]$

f₃ → f₂  

$det=\left[\begin{array}{cccc}9&-12&2&1\\0&-9&3&1\\0&13/3&7/9&26/9\\0&16/3&-2/9&-37/9\end{array}\right]$

f₃ + 13/27f₂

f₄ + 16/27f₂

$det=\left[\begin{array}{cccc}9&-12&2&1\\0&-9&3&1\\0&0&20/9&91/27\\0&0&14/9&-95/27\end{array}\right]$

f₄ - 7/10f₃  

$det=\left[\begin{array}{cccc}9&-12&2&1\\0&-9&3&1\\0&0&20/9&91/27\\0&0&0&-529/90\end{array}\right]$

det = 9(-9)(20/9)(-529/90)

det = 1058

El determinante es distintos de cero por lo tanto;  

Rango(B) = 4