Question

1. Determine si el conjunto S genera a R^3: S={(6,7,6),(3,2,-4),(1,-3,2)} 2. Determine si el conjunto S es linealmente dependiente. S={(1,-4,1),(6,3,2)}

Answer 1

El conjunto S ={(6,7,6), (3,2,-4), (1,-3,2)} genera a r³

El conjunto S = {(1,-4,1), (6,3,2)} No es linealmente independiente.

Explicación paso a paso:

Dados;

1. S ={(6,7,6), (3,2,-4), (1,-3,2)}  

Para que el conjunto S genere el espacio r³, debe ser vectores linealmente independientes, los cuales se pueden expresar como una combinación lineal.

α₁(6,7,6)+α₂(3,2,-4)+α₃(1,-3,2) = (0,0,0)

6α₁ + 3α₂ + 6α₃ = 0

7α₁ + 2α₂ - 4α₃ = 0

6α₁ - 3α₂ + 2α₃ = 0

El determinante formado por la matiz de coeficientes del sistema si este da distinto de cero el sistema el linealmente independiente.

$det\left[\begin{array}{ccc}6&7&6\\3&2&-4\\1&-3&2\end{array}\right]$

= 6[(2)(2)-(3)(-4)]-3[(7)(2)-(6)(-4)]+6[(7)(-3)-(6)(2)]

=6(16)-3(38)+6(-33)

= -216

Combinación lineal:

α₁(6,7,6)+α₂(3,2,-4)+α₃(1,-3,2) = (x,y,z)

El conjunto es linealmente independiente y se puede expresar como combinación lineal, por lo tanto genera a r³.

2. S = {(1,-4,1), (6,3,2)}

El conjunto solo posee dos vectores y esta en un espacio r³ por lo que no puede ser linealmente independiente.