Question

se requiere hacer una caja con tapa que tenga un volumen de 100cm3 si en la base el largo es el doble del ancho, cual deben ser los lados para que se emplee la menos cantidad posible del material

Answer 1

Las dimensiones de la caja de 100 centímetros cúbicos que minimizan la cantidad de material a utilizar son 3,35 cm por 6,7cm de base y 4,46cm de altura.

Explicación:

La caja tendrá forma de paralelepípedo y siendo a y b las dimensiones de su base, y h su altura, su volumen es:

$V=a.b.h$

Pero como tendrá el doble de largo que de ancho esto se reduce a:

$V=2a^2h$

La cantidad de material viene dada por el área superficial de la caja que es el área de las dos tapas más la de las caras laterales.

$A=2a.b+2ah+2bh=2ab+2(a+b)h=4a^2+2(3a)h\\\\A=4a^2+6ah$

Pero de la ecuación de volumen tenemos:

$h=\frac{V}{2a^2}$

Con lo que la ecuación de área queda:

$A=4a^2+6a\frac{V}{2a^2}=4a^2+3\frac{V}{a}=\frac{4a^3+3V}{a}$

Esta es la función que hay que minimizar, recordemos que para que la función tenga un valor mínimo en un punto x0 de su dominio, ese punto debe cumplir con:

$f'(x)=0\\f''(x)>0$

Hallamos las derivadas de la función:

$A'=\frac{a(12a^2)-4a^3-3V}{a^2}=\frac{8a^3-3V}{a^2}\\\\A''=\frac{a^2(24a^2)-2a(8a^3-3V)}{a^4}=\frac{8a^4+6Va}{a^4}=\frac{8a^3+6V}{a^3}$

La derivada primera la igualamos a cero, alcanza con igualar el numerador a cero:

$8a^3-3V=0\\\\a=\sqrt[3]{\frac{3V}{8}}=\sqrt[3]{\frac{3.100cm^3}{8}}=3,35cm$

En la derivada segunda de la función este punto es:

$A''=\frac{8(3,35)^3+6.100}{(3,35)^3=24$

Efectivamente a=3,35cm es un mínimo. Las otras dimensiones son:

b=2a=2.3,35cm=6,7cm

$V=2a^2h\\\\h=\frac{V}{2a^2}=\frac{100}{2.(3,35cm)^2}=4,46cm$

Answer 2

El ancho de la caja debe ser de 3,35 cm el lago de 6,7 cm y la altura de 4,45 cm

Explicación:

Optimización

Datos:

V= 100 cm²

a = x

b = 2x

h = y

Volumen de la caja:

V= abh

100 = x*2x*y

100 = 2x²y

y = 100/2x²

Perímetro de la caja:

P = 2ab+2ah+2hb

P = 4x² +2xy+ 4xy

P = 4x² +6xy

P = 4x²+ 6x*100/2x²

P = 4x² +300/x

Derivamos e igualamos a cero:

P´= 8x -300/x²

P´= (8x³-300)/x²

0=  8x³ -300

x = ∛300/8

x= 3,35 cm

y = 100/2(3,35)²

y = 4,45 cm

El ancho de la caja debe ser de 3,35 cm el lago de 6,7 cm y la altura de 4,45 cm