Question

Hallar todas las raíces racionales de
2x4- 9x3 + 15x2 – 11x + 3 = 0

Answer 1

Respuesta:

$2x {}^{4} - 9x {}^{3} + 15x {}^{2} - 11x + 3 = 0$

Aplicamos la regla de ruffini.

Los divisores del termino independiente son [+-(1,3)]

Hacemos división sintética (proceso en la imagen).

Empezamos con x=1, la cual resulta ser una raíz, ya que el residuo final es 0.

$x1 = 1$

Ahora, como ya encontramos una raíz, hacemos un polinomio de un grado menor con los residuos de la división sintética (menos el final) como coeficientes.

$2x {}^{3} - 7x {}^{2} + 8x - 3 = 0$

Volvemos a aplicar división sintética con los divisores de término independiente de la ecuación inicial.

Probamos de nuevo con x=1, el cuál vuelve a funcionar (por tanto 2 de las soluciones de la ecuación son 1).

$x2 = 1$

Como encontramos otra raíz, hacemos un polinomio de un grado menor con los residuos de la división sintética (menos el final) como coeficientes.

$2x {}^{2} - 5x + 3 = 0$

Esa es una ecuación cuadrática, podemos encontrar las 2 soluciones restantes por la fórmula general de la ecuación cuadrática:

$x = \frac{ - ( - 5) + - \sqrt{( - 5) {}^{2} - 4(2)(3)} }{2(2)}$

$x = \frac{5 + - \sqrt{25 - 24} }{4}$

$x = \frac{5 + - \sqrt{1} }{4}$

$x = \frac{5 + - 1}{4}$

Hay 2 soluciónes:

$x1 = \frac{5 + 1}{4}$

$x1 = \frac{6}{4}$

$x1 = \frac{3}{2}$

O también:

$x2 = \frac{5 - 1}{4}$

$x2 = \frac{4}{4}$

$x2 = 1$

En total, las 4 soluciones o raíces de la ecuación cuartica son:

$x1 = 1$

$x2 = 1$

$x3 = \frac{3}{2}$

$x4 = 1$

Solo hay 2 soluciones diferentes:

$x1 = 1$

$x2 = \frac{3}{2}$