Question

Calcule el valor de m para que se verifique la igualdad: lim┬(x→+∞)⁡〖((x+2m)/(x-m))^x=5〗

Answer 1

El valor de m que satisface la igualdad

$\lim_{x \to \infty} (\frac{x+2m}{x-m})^x=5$

es $m=\frac{ln(5)}{3}$

Explicación paso a paso:

Para salvar una indeterminación de tipo 1 elevado a la infinito, el cual tiene la siguiente expresión:

$\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)}=1^\infty$

Aplicamos el siguiente procedimiento:

$\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)}=\lim_{x \to a} e^{(f(x)-1).g(x)}$

Como vamos a usar el exponencial, usamos esta notación:

$e^{(f(x)-1).g(x)}=exp\{(f(x)-1).g(x)\}$

En el ejercicio planteado tenemos:

$f(x)=\frac{x+2m}{x-m}\\\\g(x)=x$

Y sabemos que:

$\lim_{x \to \infty} exp\{(f(x)-1).g(x)\}=5$

Aplicamos logaritmo natural en ambos miembros:

$\lim_{x \to \infty}(f(x)-1).g(x)=ln(5)\\\\\lim_{x \to \infty}(x(\frac{x+2m}{x-m}-1))=ln(5)\\\\\lim_{x \to \infty}(x\frac{x+2m-x+m}{x-m})=ln(5)\\\\\lim_{x \to \infty}\frac{3mx}{x-m}=ln(5)$

Para salvar la indeterminación dividimos por x numerador y denominador.

$\lim_{x \to \infty}\frac{\frac{3mx}{x}}{\frac{x-m}{x}}=ln(5)\\\\\lim_{x \to \infty}\frac{3m}{1-\frac{m}{x}}=3m=ln(5)$

Con lo que el valor de m es:

$m=\frac{ln(5)}{3}$