Question

calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la derivación.

f(x)=(√x+2)(〖2x〗^3-x)

f(x)=(x^3-1)/(√x-1)

f(x)=(3x^2-5x)^3.(x^2-2)^2x

Answer 1

Las derivadas de las funciones aplicando las reglas de derivación son:

1. $f'(x)=\frac{-10x^{2}\sqrt{x}-24x^{2}+\sqrt{x}+4}{2(2x^{3}-x)^{2}}$

2. $f'(x)=\frac{5x^{3}-6x^{2}\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^{2}}$

3. $f'(x)=3(3x^{2}-5x)^{2}(6x-5)(x^{2}-2)^{2x}+2(ln(x^{2}-2)+\frac{2x^{2}}{x^{2}-2})(x^{2}-2)^{2x}(3x^{2}-5x)^{2}$

Explicación paso a paso:

Dado,  

2. f(x) = (√x + 2) /(2x³-3)

Aplicar regla del cociente; $\frac{u}{v}=\frac{u'v-v'u}{v^{2} }$

$=\frac{(x^{2}-3)'(\sqrt{x}-2)-(\sqrt{x}-2)'(x^{2}-3)}{(\sqrt{x}-2)^{2} }$

(√x + 2)'

Aplicar la regla de la suma/diferencia; u'±v'

d/dx(√x) = 1/2√x

d/dx(2) = 0

(√x + 2)' = 1/2√x

(2x³-x)'  

Aplicar la regla de la suma/diferencia; u'±v'

d/dx(2x³) = 6x²

d/dx(x) =  1

(2x³-x)'   = 6x²-1

Sustituir;

$=\frac{(\frac{1}{2\sqrt{x}})(2x^{3}-x)-(6x^{2}-1)(\sqrt{x}+2)}{(2x^{3}-x)^{2} }$

Simplificar;

$=\frac{(\frac{1}{2\sqrt{x}})(2x^{3}-x)-(6x^{2}-1)(\sqrt{x}+2)}{(2x^{3}-x)^{2} }$

$=\frac{\frac{\sqrt{x}(2x^{2}-1)}{2}-(6x^{2}-1)(\sqrt{x}+2)}{(2x^{3}-x)^{2} }$

$=\frac{\frac{\sqrt{x}(2x^{2}-1)-2(6x^{2}-1)(\sqrt{x}+2)}{2}}{(2x^{3}-x)^{2} }$

$=\frac{\frac{\sqrt{x}(2x^{2}-1)-12x^{2}\sqrt{x}-24x^{2}+2\sqrt{x}+4}{2}}{(2x^{3}-x)^{2} }$

$=\frac{2x^{2}\sqrt{x}-\sqrt{x}-12x^{2}\sqrt{x}-24x^{2}+2\sqrt{x}+4}{2(2x^{3}-x)^{2} }$

$=\frac{-10x^{2}\sqrt{x}-24x^{2}+\sqrt{x}+4}{2(2x^{3}-x)^{2}}$

2. f(x) = (x³-1) /(√x - 1)

Aplicar regla del cociente; $\frac{u}{v}=\frac{u'v-v'u}{v^{2} }$

$=\frac{(x^{3}-1)'(\sqrt{x}-1)-(\sqrt{x}-1)'(x^{3}-1)}{(\sqrt{x}-1)^{2} }$

(x³-1)'  

Aplicar la regla de la suma/diferencia; u'±v'

d/dx(x³) = 3x ²

d/dx(1) =  0

(x³-1)' = 3x ²

(√x - 1)'

Aplicar la regla de la suma/diferencia; u'±v'

d/dx(√x) = 1/2√x

d/dx(1) = 0

(√x + 2)' = 1/2√x

Sustituir;

$=\frac{(3x^{2})(\sqrt{x}-1)-(\frac{1}{2\sqrt{x}})(x^{3}-1)}{(\sqrt{x}-1)^{2} }$

Simplificar;

$=\frac{3x^{2}\sqrt{x}-3x^{2}-(\frac{(x^{3}-1)}{2\sqrt{x}})}{(\sqrt{x}-1)^{2} }$

$=\frac{\frac{2\sqrt{x}(3x^{2}\sqrt{x}-3x^{2})-x^{3}+1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}-1)^{2} }$

$=\frac{\frac{6x^{3}-6x^{2}\sqrt{x}-x^{3}+1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}-1)^{2} }$

$=\frac{5x^{3}-6x^{2}\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)^{2}}$  

3. f(x) = (3x²-5x)³.(x²-2)^2x

Aplicar regla del producto; (uv)' = u'v+v'u

$=[(3x^{2}-5x)^{2}]'(x^{2}-2)^{2x}+[(x^{2}-2)^{2x}]'(3x^{2}-5x)^{2}$

[(3x²-5x)³]' = 3(3x²-5x)²(6x-5)

[(x²-2)^2x]'

Aplicar ley de exponentes;

$(x^{2}-2)^{2x}=e^{2xln(x^{2}-2)}$

d/dx(e^{2xln(x^{2}-2)})

$=2(ln(x^{2}-2)+\frac{2x^{2}}{x^{2}-2})(x^{2}-2)^{2x}$

Sustituir;

$=3(3x^{2}-5x)^{2}(6x-5)(x^{2}-2)^{2x}+2(ln(x^{2}-2)+\frac{2x^{2}}{x^{2}-2})(x^{2}-2)^{2x}(3x^{2}-5x)^{2}$

Answer 2

Las derivadas de las funciones, aplicando las reglas de la derivación, son  las siguientes:

1. $f(x) = (\sqrt{x} + 2).((2x)^{3} - x )$
   
   acá vamos a aplicar la regla del producto, que se conoce como la derivada de un producto de dos funciones:
   
   $(fg)' = f'.g + f.g'$
   
   decimos que $f = \sqrt{x} + 2$  y  $g = (2x)^{3} - x$ . Por lo que:
   
   $f' = \frac{1}{2} x^{\frac{-1}{2} }$     y    $g' = 24x^{2} - 1$
   
   Entonces:
   $(fg)' = ( \frac{1}{2} x^{\frac{-1}{2} } ).( (2x)^{3} - x) + (\sqrt{x} + 2).(24x^{2} - 1)$
   
   
2. $F(X) = \frac{(x^{3} - 1 )}{(\sqrt{x} - 1 )}$
   
   Acá vamos a usar la regla del cociente, que se conoce como la derivada de un cociente:
   
   $(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'g - fg' }{g^{2} }$
   
   decimos que $f = x^{2} -1$   y    $g = \sqrt{x} - 1$  . Por lo que :
   
   $f' = 2x$   y    $g' = \frac{1}{2\sqrt{x} }$
   
   Entonces:
   $(\frac{f}{g})' = \frac{ 2x(\sqrt{x} -1) - \frac{1}{2\sqrt{x} }(x^{2} -1)}{ (\sqrt{x} -1)^{2} }$
   
   
3. $f(x) = ((3x^{2} - 5x)^{3} ).((x^{2} -2)^{2} )$
   
   acá también aplicaremos la regla del producto, o la derivada de un producto de dos funciones.
   
   decimos que $f = (3x^{2} -5x)^{3}$  y  $g = (x^{2} -2)^{2}$.  Por lo que :
   $f' = 3(3x^{2} - 5x)^{2} .(6x-5)$   y   $g' = 4x (x^{2} - 2)$
   
   Entonces:
   $(fg)' = 3(3x^{2} - 5x)^{2} .(6x-5) . (x^{2} -2)^{2} + (3x^{2} -5x)^{3}. 4x (x^{2} - 2)$

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