Question

1. Aplicación de derivadas

a. La velocidad a la que se desplaza un auto deportivo entre las o y 4 horas de recorrido se representa con la expresión v(t)= (2-t).e^t, donde t es el tiempo en horas y v(t) es a velocidad en cientos de kilómetros/hora. Hallar en que momento del intervalo [0,3]circula a la velocidad máxima, calcular dicha velocidad y la aceleración en ese instante. ¿Se detuvo alguna vez? ¿En qué instante?

b. Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función f (x)=1/2 x^3-2x+4

Answer 1

El auto deportivo alcanza la velocidad máxima de 272 kilómetros por hora en la hora 1 con una aceleración nula en ese momento y se detiene en la hora 2. En cuanto a la función B, esta tiene un máximo en $x=-\sqrt{\frac{4}{3}}$, un mínimo en $x=\sqrt{\frac{4}{3}}$ y un punto de inflexión en x=0.

Explicación paso a paso:

a) Siendo la velocidad del auto deportivo en cientos de kilómetros por hora:

$v(t)=(2-t)e^t$

El valor t0 donde la función tiene un máximo tiene que cumplir con:

$v'(t)=0\\v''(t)<0$

Derivamos la función aplicando regla de producto:

$v'(t)=-e^t+(2-t)e^t=(1-t)e^{t}\\\\v''(t)=-e^t+(1-t)e^t=-te^t$

El único punto donde la función tiene un extremo es t=1, la derivada segunda en ese punto es negativa con lo que se trata de un máximo.

La velocidad en ese punto, que es la máxima, es:

$v(1)=(2-1)e^1=e=272\frac{km}{h}$

Pues no olvidemos que la velocidad está expresadad en cientos de kilómetros por hora.

La derivada de la velocidad es la aceleración, la cual para ese punto es cero para cumplir la condición de máximo, con lo que la aceleración en t=1 es cero.

Para verificar si el auto se detuvo hay que igualar la velocidad a cero:

$(2-t)e^t=0\\2-t=0\\t=2$

Y tenemos que en la hora 2 el auto se detiene.

b) Para encarar este punto repasemos la condición de máximo:

$f'(x)=0\\f''(x)<0$

Y la condición de mínimo:

$f'(x)=0\\f''(x)>0$

Y definamos el punto de inflexión como aquél en el cual la función cambia su concavidad, o lo que es lo mismo las raíces de la derivada segunda. Hallemos las derivadas de la función:

$f'(x)=\frac{3}{2}x^2-2\\\\f''(x)=3x$

Para hallar los extremos igualamos la derivada a cero:

$\frac{3}{2}x^2-2=0\\x^2=\frac{4}{3}\\\\x=\ñ\sqrt{\frac{4}{3}}$

Como la derivada segunda es negativa para x<0, el punto $x=-\sqrt{\frac{4}{3}}$ es un máximo, mientras que sieno la derivada segunda positiva en x>0, el punto $x=\sqrt{\frac{4}{3}}$ es un mínimo.

Como la derivada segunda tiene su raíz en x=0, este es el único punto de inflexión de la función. Se adjunta la gráfica con los puntos solicitados.

Answer 2

Explicación paso a paso:

LeonardoDY me podrias hacer el favor de ayudarme con un ejercicio similar, por favor? https://brainly.lat/tarea/30318132