Question

un lago tiene la forma de la elipse x2 + 4y2 = 4. Se traza una carretera siguiendo la curva x + y = 4.
Hallar el punto más cercano entre la carretera y el lago.​

Answer 1

El punto más cercano entre la carretera y el lago es el punto $(\frac{4\sqrt{5}+3}{2\sqrt{5}};\frac{4\sqrt{5}-3}{2\sqrt{5}})$  de la recta que representa a la carretera y  $(\frac{4}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}})$ de la elipse que representa al lago.

Explicación paso a paso:

Para hallar el punto más cercano entre la carretera y el lago, hay que minimizar la función distancia entre f(x) y g(x) la que genéricamente se puede definir como:

$D(x_1,x_2)=D\{(x_1,f(x_1));(x_2,g(x_2))\}\\\\D(x_1,x_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(g(x_2)-f(x_1))^2}$

La distancia mínima ocurre cuando derivamos la función e igualamos sus derivadas a cero, queda:

$D(x_1,x_2)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(g(x_2)-f(x_1))^2}\\\\\frac{dD}{dx_1}=\frac{1}{\sqrt{(x_2-x_1)^2+(g(x_2)-f(x_1))^2}}.(-2)(x_2-x_1)+2(g(x_2)-f(x_1)).f'(x_1)=0\\\\\frac{dD}{dx_2}=\frac{1}{\sqrt{(x_2-x_1)^2+(g(x_2)-f(x_1))^2}}.2(x_2-x_1)-2(g(x_2)-f(x_1)).g'(x_2)=0\\\\f'(x_1)=\frac{x_2-x_1}{g(x_2)-f(x_1)}\\\\g'(x_2)=\frac{x_2-x_1}{g(x_2)-f(x_1)}$

De aquí concluimos que cuando, sean dos puntos, uno de cada una de las funciones en juego, si la derivada de cada una de las funciones en dichos puntos son iguales, estamos en presencia de la posible distancia mínima entre funciones. La funciones se pueden definir explicitamente como:

$f(x)=4-x\\\\g(x)=\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}$

Siendo sus derivadas:

$f'(x)=-1\\\\g'(x)=\frac{1}{2}\frac{1}{2\sqrt{4-x^2}}(-2x)=-\frac{x}{2\sqrt{4-x^2}}$

Como la derivada de la recta es siempre -1, tenemos que igualar la derivada de la elipse a -1, nos queda:

$-\frac{x}{2\sqrt{4-x^2}}=-1\\\\\frac{x}{2\sqrt{4-x^2}}=1\\\\x=2\sqrt{4-x^2}\\\\x^2=4(4-x^2)=16-4x^2\\\\x=\ñ\frac{4}{\sqrt{5}}$

Hay dos puntos donde la derivada de la elipse es -1, ellos son:

$g(\frac{4}{\sqrt{5}})=\frac{\sqrt{4-(\frac{4}{\sqrt{5}})^2}}{2}=\ñ\frac{1}{\sqrt{5}}\\\\g(-\frac{4}{\sqrt{5}})=\frac{\sqrt{4-(-\frac{4}{\sqrt{5}})^2}}{2}=\ñ\frac{1}{\sqrt{5}}\\\\(\frac{4}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}});(-\frac{4}{\sqrt{5}},-\frac{1}{\sqrt{5}})$

Los dos puntos los obtenemos conociendo la geometría de la elipse. Las rectas tangentes en esos puntos son:

$y-\frac{1}{\sqrt{5}}=-1(x-\frac{4}{\sqrt{5}})=>x+y=\frac{5}{\sqrt{5}}=2,236\\y+\frac{1}{\sqrt{5}}=-1(x+\frac{4}{\sqrt{5}})=>x+y=\frac{3}{\sqrt{5}}=1,342$

Siendo la más cercana a x+y=4 la que pasa por el punto $(\frac{4}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}})$ con lo cual, este es el punto de la elipse más cercano a la recta.

El punto de la recta más cercano a la elipse es la intersección entre la recta dada y la recta normal a la elipse en el punto que hallamos:

$y-\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{-1}{-1}(x-\frac{4}{\sqrt{5}})=>x-y=\frac{3}{\sqrt{5}}\\\\y=x-\frac{3}{\sqrt{5}}\\\\x-\frac{3}{\sqrt{5}}=4-x\\2x=4+\frac{3}{\sqrt{5}}=> x=\frac{4\sqrt{5}+3}{2\sqrt{5}}\\\\y=4-\frac{4\sqrt{5}+3}{2\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}-3}{2\sqrt{5}}$

Con lo que $(\frac{4\sqrt{5}+3}{2\sqrt{5}};\frac{4\sqrt{5}-3}{2\sqrt{5}})$ es el punto de la recta más cercano a la elipse.