Question

Obtener una ecuación de cada una de las rectas tangentes a la curva 3y=x^3-3x^2+6x+4, y paralelas a la recta 2x-y+3=0

Answer 1

Las rectas tangentes a la curva y paralelas a la recta 2x-y+3=0 son:

6x-3y+4=0

2x-y=0

Explicación:

Para hallar la recta tangente a la función que sea paralela a 2x-y+3=0, tenemos que hallar los puntos donde la derivada de la función sea igual a la pendiente de la recta dada, porque la pendiente de la recta tangente es igual a la derivada de la función. La función se puede escribir como:

$y=\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}+2x+\frac{4}{3}$

La derivada de esta función es:

$y'=x^{2}-2x+2$

Ahora la recta en su ecuación punto pendiente es:

2x-y+3=0

y=2x+3

La pendiente de la recta tangente, es decir la derivada de la función tiene que ser igual a 2:

$x^{2}-2x+2=2\\x^{2}-2x=0\\\\x=0\\x=2$

Las rectas tangentes a la curva y de pendiente 2 son dos, las que pasan por x=0 y x=2, las imágenes de esos puntos son:

$y=\frac{1}{3}0^{3}-0^{2}+2.0+\frac{4}{3}=\frac{4}{3}\\\\y=\frac{1}{3}2^{3}-2^{2}+2.2+\frac{4}{3}=4$

Las rectas tangentes las hallamos con este procedimiento:

$l:(y-y_0)=m(x-x_0); P(x_0;y_0) \epsilon l$

Donde m es la pendiente de la recta, reemplazando queda:

$(y-\frac{4}{3})=2(x-0)=>y=2x+\frac{4}{3}=>3y=6x+4\\\\(y-4)=2(x-2)=>y=2x-4+4=2x$

En la imagen adjunta se ve la curva (en naranja) y las dos rectas tangentes en azul.