Question

Sean u,v y w vectores en r3 demuestre que u*(v*w)=(u*x)*w

Answer 1

La propiedad solicitada no es valida, se demuestra con un contraejemplo

Queremos demostrar que: u*(v*w)=(u*v)*w donde u,v y w son vectores en R³

El símbolo "*" puede referirse al producto vectorial o al producto punto: si se refiere al producto punto tendria que primero (al operar lo de dentro del paréntesis) referirse al producto punto y luego a la multiplicación de un escalar un vector, de cualquier manera no se cumple. Veamos que no se cumple en ninguno de los casos:

Contraejemplo

Sean los vectores: u = (1,0,0), v = (0,2,0) y w = (0,1,3) Luego si * representa producto punto y multiplicación de escalar por vector:

u*(v*w)= (1,0,0)*((0,2,0)*(0,1,3)) = (1,0,0)*2 = (2,0,0)

(u*v)*w = ((1,0,0)*(0,2,0))*(0,1,3) = 0*(0,1,3) = (0,0,0)

Luego: (2,0,0) ≠ (0,0,0)  No se cumple lo deseado

Luego si * representa producto vectorial:

u*(v*w) = (1,0,0)*((0,2,0)*(0,1,3))  

= $(1,0,0)*det(\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\0&2&0\\0&1&3\end{array}\right] ) = (1,0,0)*(6i) = (1,0,0)*(6,0,0)$

$(1,0,0)*(6,0,0) = det(\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&0&0\\6&0&0\end{array}\right]) = (0,0,0)$

(u*v)*w = ((1,0,0)*(0,2,0))*(0,1,3)  

$=(1,0,0)*det(\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&0&0\\0&2&0\end{array}\right] ) = 2k*(0,1,3) = (0,0,2)*(0,1,3)$

$=det(\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\0&0&2\\0&1&3\end{array}\right] ) = -2i = (-2,0,0)$

Luego (0,0,0) ≠ (-2,0,0)

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