Question

Ejercicios 1 – Solución Ecuaciones Diferenciales por series de potencia.

Dar solución a las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de series de potencia (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso 2, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado)

y^''+y=3x^2

Answer 1

La solución de la ecuación diferencial es $y=3x^2-6$

Explicación:

El método de resolución de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias consiste en proponer como solución un polinomio de grado infinito de tipo:

$y(x)=\Sigma_{i=0}^na_ix^i$

En la ecuación planteada hay que reemplazar ese polinomio, las derivadas del mismo son:

$y'(x)=\Sigma_{i=0}^nia_ix^{i-1}\\\\y''(x)=\Sigma_{i=0}^ni(i-1)a_ix^{i-2}$

Reemplazando en la ecuación:

$\Sigma_{i=0}^ni(i-1)a_ix^{i-2}+\Sigma_{i=0}^na_ix^i=3x^2$

Ahora tenemos que los coeficientes de orden distinto de 2 en el primer miembro tienen que ser cero, si desglosamos el primer miembro queda:

$0(0-1)a_0x^{-2}+1(1-1)a_1x^{-1}+2(2-1)a_2x^0+\\+3(3-1)a_3x+4(4-1)a_4x^2+a_0+a_1x+a_2x^2=3x^2\\\\2a_2+6a_3x+12a_4x^2+...+a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...=3x^2$

Nos queda que:

$a_i|_{i>2}=0\\2a_2+a_0=0\\a_1=0$

Con estos cambios reescribimos la ecuación:

$2a_2+a_0+a_2x^2=3x^2$

Y nos queda:

$a_2=3\\a_0=-2a_2=-6$

Con lo que la solución queda:

$y=3x^2-6$