Question

Solucionar Transformada de Laplace

L{π+cos⁡3t }

Answer 1

La transformada de Laplace de la función es:

$F(S)=\frac{\pi}{S}+\frac{S}{S^2+9}$

Explicación:

La expresión genérica de la transformada de Laplace es:

$L\{f(t)\}=F(S)=\int\limits^\infty_0 {f(t)e^{-St}} \, dt$

Nuestra función en el dominio del tiempo es:

$f(t)=\pi + cos(3t)$

Con lo que introduciéndola en la expresión queda:

$F(S)=\int\limits^\infty_0 {(\pi + cos(3t))e^{-St}} \, dt$

La integral se puede desdoblar en dos integrales:

$F(S)=\int\limits^\infty_0 {cos(3t)e^{-St}} \, dt+\int\limits^\infty_0 {\pi e^{-St}} \, dt\\F(S)=\int\limits^\infty_0 {cos(3t)e^{-St}} \, dt+\pi \int\limits^\infty_0 {e^{-St}} \, dt$

El coseno se puede expresar en forma exponencial mediante la identidad de Euler:

$cos(3t)=\frac{e^{j3t}+e^{-j3t}}{2}$

Con lo que ahora la integral queda:

$F(S)=\int\limits^\infty_0 {\frac{e^{j3t}+e^{-j3t}}{2}e^{-St}} \, dt+\pi \int\limits^\infty_0 {e^{-St}} \, dt\\\\F(S)=\frac{1}{2}\int\limits^\infty_0 {e^{j3t}e^{-St}} \, dt+\frac{1}{2}\int\limits^\infty_0 {e^{-j3t}e^{-St}} \, dt+\pi \int\limits^\infty_0 {e^{-St}} \, dt\\\\F(S)=\frac{1}{2}\int\limits^\infty_0 {e^{-(-j3+S)t}} \, dt+\frac{1}{2}\int\limits^\infty_0 {e^{-(j3+S)t}} \, dt+\pi \int\limits^\infty_0 {e^{-St}} \, dt$

Empezamos a resolver:

$F(S)=\frac{1}{2}\int\limits^\infty_0 {e^{-(-j3+S)t}} \, dt+\frac{1}{2}\int\limits^\infty_0 {e^{-(j3+S)t}} \, dt+\pi \int\limits^\infty_0 {e^{-St}} \, dt\\\\F(S)=\frac{1}{2}[\frac{e^{-(-j3+S)t}}{-(-j3+S)}]^{\infty}_0+\frac{1}{2}[\frac{e^{-(j3+S)t}}{-(j3+S)}]^{\infty}_0+\pi[\frac{e^{-St}}{-S}]^{\infty}_0\\\\F(S)=\frac{1}{2}\frac{1}{(-j3+S)}+\frac{1}{2}\frac{1}{(j3+S)}+\frac{\pi}{S}$

Ahora resolvemos la operación entre números complejos conjugados:

$F(S)=\frac{1}{2}\frac{1}{(-j3+S)}+\frac{1}{2}\frac{1}{(j3+S)}+\frac{\pi}{S}\\\\F(S)=\frac{1}{2}\frac{S+j3+S-j3}{(-j3+S)(j3+S)}+\frac{\pi}{S}=\frac{\pi}{S}+\frac{S}{s^2+9}$