Question

Usar el teorema de Taylor para hallar la solución en serie de $xy+2y'=xy$

con y (1)=1 y en y '(1)=0.

A. 1 + x + 1/2 x^2-( 2)/3! x^3+9 x^4/4!-44 x^5/5!-5 x^5/5!…
B. 1+ x +1/2 x^2+( 4)/3! x^3+10 x^4/4!-40 x^5/5! +⋯
C. 1+ 1/2 x^2-( 2)/3! x^3+9 x^4/4!-44 x^5/5!-5 x^5/5!…
D. 1 + x + x^2-( 4)/3! x^3+9 x^4/4!-22 x^5/5!-15 x^5/5!…

Answer 1

La solución a la ecuación diferencial planteada es f(x)=1.

Explicación:

El Teorema de Taylor nos dice que cualquier función continua y derivable en un punto x0 puede representarse mediante una serie de potencias de la forma:

$y=\Sigma_{i=0}^{n} \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i$

Si reemplazamos en la ecuación diferencial esa expresión tenemos:

$y'=\Sigma_{i=1}^{n} i\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^{i-1}=\Sigma_{i=1}^{n} \frac{f^{(i)}(x_0)}{(i-1)!}(x-x_0)^{i-1}\\\\x\Sigma_{i=0}^{n} \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i+2\Sigma_{i=1}^{n} \frac{f^{(i)}(x_0)}{(i-1)!}(x-x_0)^{i-1}=x\Sigma_{i=0}^{n} \frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i$

Podemos aplicar en ambos miembros la propiedad cancelativa y nos queda:

$2\Sigma_{i=1}^{n} \frac{f^{(i)}(x_0)}{(i-1)!}(x-x_0)^{i-1}=0$

Como la sumatoria empieza en 1 tenemos que todos los coeficientes deben ser cero para cumplir la igualdad:

$\frac{f^{(i)}(x_0)}{(i-1)!}|_{i\geq 1}=0\\\\f'(x)=0=> f(x)=C, C\epsilon R$

La función solución es una constante, viendo las condiciones iniciales en x=1 tenemos:

$y(1)=f(1)=1\\\\f(x)=1$

Answer 2

Respuesta:

cual seria la respuesta correcta de la solución de ese ejercicio según el método de taylor

Explicación: