• Asignatura: Matemáticas
  • Autor: paolahernandez3
  • hace 8 años

Dos lados paralelos de un rectángulo se alargan a razón de 2cm/s,mientras que los otros dos se acortan de manera que la figura resultante en todo momento es un rectángulo de área constante igual a 50 cm^2. Calcular la variación del perímetro en la unidad de tiempo cuando la longitud de los lados extensibles es de 5cm y 10cm

Respuestas

Respuesta dada por: anyuliguevara8
9

      Los valores de la variación del perímetro en la unidad de tiempo cuando la longitud de los lados extensibles es de 5cm y 10cm

       dp/dx = - 2cm/s

       dp/dx = 1 cm/s

   dx/dt = 2cm/s

       x*y = 50cm²

          P = 2x + 2y

   dp/dt = ?

    Para la solución se aplica las ecuaciones como se muestra a continuación :

     P = 2x + 100/x      despejando  y  del área del rectángulo

   

  deivando P queda dp/dx = 2 + (0*x + 100*1/x²)

  X = 5cm

     dp/dx = 2 - 100/5²  ⇒  dp/dx = - 2cm/s

   X = 10

       dp/dx = 2 - 100/10² ⇒  dp/dx = 1cm/s

     

Respuesta dada por: fredymmzuniga
1

Respuesta:

Cuando el lado mide 5cm: -4cm/s y cuando mide 10cm: 2cm/s

Explicación paso a paso:

Definamos "x" como longitud de los lados que se van alargando y "y" a la longitud de los otros dos lados.

El área sería entonces:  xy=50cm^{2}

De ahí tenemos que la razón de cambio de "x" con respecto al tiempo es:

\frac{dx}{dt} =2cm/s

Y lo que buscamos es la velocidad de cambio del perímetro "p": \frac{dp}{dt}

Lo primero que debemos hacer es escribir a "y" en términos de "x" utilizando la fórmula del área:

xy=50cm^2\\  y=\frac{50cm^2}{x}

El perímetro vale:

p=2x+2y

Sustituiremos el valor de "y" para dejar al perímetro en términos de "x":

p=2x+2(\frac{50cm^2}{x})\\p=2x+\frac{100cm^{2} }{x}\\p=2x+(100cm^{2})x^{-1}

Ahora para encontrar \frac{dp}{dt} debemos derivar implícitamente en términos del tiempo "t":

\frac{dp}{dt}=2\frac{dx}{dt}-(100cm^{2})x^{-2}\frac{dx}{dt}\\

\frac{dx}{dt} ya lo conocemos así que sustituimos:

\frac{dp}{dt}=2(2cm/s)-(100cm^{2})x^{-2}(2cm/s)\\\frac{dp}{dt}=4cm/s-\frac{100cm^{2}}{x^{2} } (2\frac{cm}{s} )\\\frac{dp}{dt}=4cm/s-\frac{200cm^{3}}{x^{2}s }

Conociendo la velocidad de cambio del perímetro con respecto al tiempo solo nos queda encontrar el valor en el momento especifico que nos pide el ejercicio:

Para cuando x=5cm

\frac{dp}{dt}=4cm/s-\frac{200cm^{3}}{(5cm)^{2}s}\\\frac{dp}{dt}=4cm/s-\frac{200cm^{3}}{25cm^{2}s}\\\\\frac{dp}{dt}=4cm/s-8cm/s\\\frac{dp}{dt}=-4cm/s

Para cuando x=10cm

\frac{dp}{dt}=4cm/s-\frac{200cm^{3}}{(10cm)^{2}s}\\\frac{dp}{dt}=4cm/s-\frac{200cm^{3}}{100cm^{2}s}\\\\\frac{dp}{dt}=4cm/s-2cm/s\\\frac{dp}{dt}=2cm/s

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