Dos lados paralelos de un rectángulo se alargan a razón de 2cm/s,mientras que los otros dos se acortan de manera que la figura resultante en todo momento es un rectángulo de área constante igual a 50 cm^2. Calcular la variación del perímetro en la unidad de tiempo cuando la longitud de los lados extensibles es de 5cm y 10cm
Respuestas
Los valores de la variación del perímetro en la unidad de tiempo cuando la longitud de los lados extensibles es de 5cm y 10cm
dp/dx = - 2cm/s
dp/dx = 1 cm/s
dx/dt = 2cm/s
x*y = 50cm²
P = 2x + 2y
dp/dt = ?
Para la solución se aplica las ecuaciones como se muestra a continuación :
P = 2x + 100/x despejando y del área del rectángulo
deivando P queda dp/dx = 2 + (0*x + 100*1/x²)
X = 5cm
dp/dx = 2 - 100/5² ⇒ dp/dx = - 2cm/s
X = 10
dp/dx = 2 - 100/10² ⇒ dp/dx = 1cm/s
Respuesta:
Cuando el lado mide 5cm: -4cm/s y cuando mide 10cm: 2cm/s
Explicación paso a paso:
Definamos "x" como longitud de los lados que se van alargando y "y" a la longitud de los otros dos lados.
El área sería entonces:
De ahí tenemos que la razón de cambio de "x" con respecto al tiempo es:
Y lo que buscamos es la velocidad de cambio del perímetro "p":
Lo primero que debemos hacer es escribir a "y" en términos de "x" utilizando la fórmula del área:
El perímetro vale:
p=2x+2y
Sustituiremos el valor de "y" para dejar al perímetro en términos de "x":
Ahora para encontrar debemos derivar implícitamente en términos del tiempo "t":
ya lo conocemos así que sustituimos:
Conociendo la velocidad de cambio del perímetro con respecto al tiempo solo nos queda encontrar el valor en el momento especifico que nos pide el ejercicio:
Para cuando x=5cm
Para cuando x=10cm