Question

Solución Ecuaciones Diferenciales con transformada de Laplace.


Dar solución a las siguientes Ecuaciones diferenciales por transformada de Laplace (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionado en la tabla del paso 2, debe indicar la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado)

a. y^''-2y^'=e^t sin⁡t ; y(0)=0,y'(0)=0.

Answer 1

La solución a la ecuación diferencial obtenida mediante transformada de Laplace es $y(t)=-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}e^{2t}-\frac{1}{2}e^{t}sen(t)$

Explicación paso a paso:

La transformada de Laplace de una función del tiempo es:

$F(S)=\int\limits^\infty_{0} {e^{-St}f(f) \, dt$

Por otro lado las transformada de las derivadas de 'y' son:

$L\{y'\}=SY(S)-y(0)\\\\L\{y''\}=S^2Y(S)-Sy(0)-y'(0)$

Reemplazando en la ecuación queda:

$S^2Y(S)-Sy(0)-y'(0)-2(SY(S)-y(0))=\int\limits^\infty_{0} {e^{-St}e^t.sin(t) \, dt$

Como y(0)=y'(0)=0 queda:

$S^2Y(S)-2SY(S)=\int\limits^\infty_{0} {e^{-t(S-1)}.sin(t) \, dt$

Reemplazamos el seno por la identidad de Euler:

$S^2Y(S)-2SY(S)=\int\limits^\infty_{0} {e^{-t(S-1)}.\frac{e^{jt}-e^{-jt}}{2j} \, dt$

$S^2Y(S)-2SY(S)=\frac{1}{2j}\int\limits^\infty_{0} {e^{-t(S-1-j)}-e^{-t(S-1+j)}. \, dt$

Resolviendo esa integral queda:

$S^2Y(S)-2SY(S)=\frac{1}{(S-1)^2+1}=\frac{1}{S^2-2S+2}$

Ahora despejamos Y(S):

$Y(S)(S^2-2S)=\frac{1}{S^2-2S+2}\\\\Y(S)=\frac{1}{S(S-2)(S^2-2S+2)}$

Ahora si factorizamos el polinomio de grado 2 queda:

$Y(S)=\frac{1}{S(S-2)(S-(1-j))(S-(1+j))}$

Ahora hay que separar en fracciones simples la expresión:

$a(S-2)(S^2-2S+2)+bS(S^2-2S+2)+cS(S-2)=1\\a(S^3-4S^2+6S-4)+b(S^3-2S^2-2S)+c(S^2-2S)=1$

De aquí nos queda el siguiente sistema de ecuaciones:

$a+b=0\\-4a-2b+c=0\\6a-2b-2c=0\\-4a=1$

De la cuarta ecuación queda;

$a=-\frac{1}{4}$

Por lo que se reduce a:

$a+b=0\\1-2b+c=0\\-\frac{3}{2}-2b-2c=0$

De la primera ecuación queda:

$b=-a=\frac{1}{4}$

Y se reduce a:

$1-\frac{1}{2}+c=0\\-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}-2c=0\\\\c+\frac{1}{2}=0=>c=-\frac{1}{2}\\\\-1-2c=0=> c=-\frac{1}{2}$

Por lo que la función queda:

$Y(S)=-\frac{1}{4S}+\frac{1}{4(S-2)}-\frac{1}{2(S^2-2S+2)}=-\frac{1}{4S}+\frac{1}{4(S-2)}-\frac{1}{2((S-1)^2+1)}$

Transformando cada término y aprovechando la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace queda:

$y(t)=-\frac{1}{4}u(t)+\frac{1}{4}e^{2t}-\frac{1}{2}e^{t}sen(t)$

El primer término es conocido como función escalón u(t) y vale 0 para x<0 y 1 para x>1, con lo que la función queda:

$y(t)=\frac{1}{4}e^{2t}-\frac{1}{2}e^{t}sen(t); t<0\\\\y(t)=-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}e^{2t}-\frac{1}{2}e^{t}sen(t); t>0$

Como no tiene sentido el tiempo negativo queda:

$y(t)=-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}e^{2t}-\frac{1}{2}e^{t}sen(t)$

Answer 2

Respuesta:

:)

Explicación paso a paso:

;)