Question

Según la ley de Enfriamiento de Newton, la temperatura de un objeto expuesto a un medio externo con temperatura constante Tm, está dada por f(t) = Tm +$Be^{-kt}$. Si un recipiente con agua hirviendo se coloca al aire libre, donde la temperatura es de 30° Celsius.

Determine en cuántos minutos la temperatura del agua será 50°, si se sabe que después de 40 minutos, la temperatura del agua es de 60° Celsius.

Answer 1

Luego de una hora la temperatura del agua es de 50º Celsius

Para poder resolver este ejercicio, vamos a plantear que el tiempo se mide en horas (para evitar exponentes muy altos) es decir

$f(t) = T_m + Be^{-k\frac{t}{60}}$

Va a ser la ecuación cuando t está medida en minutos, tres cosas que sabemos es que Tm = 30, f(40) = 60 y f(0) = 100 (el punto de ebullición del agua), por lo que

$f(0) = 30 + Be^{-k \frac{0}{60}} = 30 + B = 100  \implies B = 70\\\\f(t) = 30 + 70e^{-k \frac{t}{60}}$

Ahora, debemos determinar el valor de la constante k, para eso usamos el hecho de que f(40) = 60 ó

$f(40) = 30 + 70e^{-k\frac{40}{60}} = 30 + 70e^{-k \frac{2}{3}} = 60\\\\7e^{-k\frac{2}{3}} = 3\\\\-k\frac{2}{3} = ln(\frac{3}{7})\\\\k = -\frac{3}{2}ln(\frac{3}{7})$

Si sustituimos esto en la ecuación, tenemos

$f(t) = 30 + 70e^{- (-\frac{3}{2} ln(\frac{3}{7})) \frac{t}{60}} = 30 + 70(\frac{3}{7})^{\frac{3t}{2*60}} = 30 + 70(\frac{3}{7})^{\frac{t}{40}}$

Por lo que simplemente debemos una determinar t' que satisfaga f(t') = 50, es decir:

$30 + 70(\frac{3}{7})^{\frac{t'}{40}} = 50\\\\7(\frac{3}{7})^{\frac{t'}{40}} = 2\\\\\frac{t'}{40}ln(\frac{3}{7}) = ln(2/7)\\\\t' = 40\frac{ln(2) - ln(7)}{ln(3) - ln(7)} \approx 59.14 min$

Es decir, luego de una hora, la temperatura del agua es de 50º celsius