Question

Obtenga una ecuación de cada una de las rectas tangentes a la curva 3y=x^3-〖3x〗^2+6x+4 y paralelas a la recta 2x-y+3=0.

Answer 1

Las dos rectas tangentes a la curva propuesta y paralelas a la recta 2x-y+3=0 son 6x-3y+4=0 y 6x-3y-104=0

Desarrollo:

La recta tangente a la función en un punto se define mediante el punto en cuestión y su pendiente es la derivada de la función en ese punto. Siendo la ecuación de la función:

$3y=x^3-(3x)^2+6x+4$

Puedo reescribir la ecuación como sigue:

$y=\frac{x^3-9x^2+6x+4}{3}$

La pendiente de la recta tangente la da la derivada de la función.

$y'=\frac{1}{3}[3x^2-18x+6]=x^2-6x+2$

Bien, nos dicen que la recta tangente tiene que ser paralela a 2x-y+3=0, esto es, tiene que tener la misma pendiente. Podemos operar para hallar la ecuación punto-pendiente de la recta:

$2x-y+3=0\\\\2x+3=y\\\\y=2(x+\frac{3}{2})$

Donde el factor que multiplica al binomio que contiene a x es la pendiente de la recta, con lo que esta recta tiene pendiente 2, ahora bien, hay que hallar el punto donde la derivada es igual a 2:

$x^2-6x+2=2\\\\x^2-6x=0$

Resolvemos la ecuación cuadrática:

$x^2-6x=0\\x(x-6)=0\\\\x_1=0\\x_2=6$

Con lo cual hay dos rectas tangentes con pendiente 2, que si reemplazamos en la función principal, pasan por los puntos $(0,\frac{4}{3})$ y $(6,-\frac{68}{3})$, estas son:

$y-\frac{4}{3}=2x => 2x-y+\frac{4}{3}=0=>6x-3y+4=0\\\\y+\frac{68}{3}=2(x-6)=> 2x-y-\frac{104}{3}=> 6x-3y-104=0$

El gráfico adjunto muestra la curva (en azul), la recta dada (en amarillo) y las dos rectas tangentes encontradas.