Question

Determine una ecuación de cada una de las rectas que pasan por el punto (4,13) y son tangentes a la curva y=〖2x〗^2-1.

Answer 1

Hay dos rectas tangentes a la curva que pasan por (4,13), estas son:

$(32+20\sqrt{2})x-y-115-80\sqrt{2}=0\\\\(32-20\sqrt{2})x-y-115+80\sqrt{2}=0$

Explicación:

Para hallar la recta tangente a la función $f(x)=(2x)^2-1$ que pase por (4,13), hay que tener en cuenta que la recta tangente a una función en un punto, pasa obviamente por ese punto, y la pendiente de dicha recta es la derivada de la función en dicho punto.

Así, la ecuación punto-pendiente de la recta tangente queda:

$y-y_0=m(x-x_0)\\\\y-13=\frac{df(x)}{dx}(x-4)$

Como la recta tiene que ser tangente a la función tiene que pasar por el punto de la función (xt,yt):

$y_t-13=\frac{df(x_t)}{dx}(x_t-4)$

Ahora tenemos que:

$y_t=(2x_t)^2-1=4x_t^2-1\\\\\frac{dy}{dt}(x_t)=8x_t$

Reemplazamos estos valores en la ecuación de la recta y queda:

$4x_t^2-1-13=8x_t(x_t-4)\\\\4x_t^2-14=8x_t^2-32x_t$

Si reordenamos queda:

$0=4x_t^2-32x_t+14\\2x_t^2-16x_t+7=0$

Y resolvemos la ecuación cuadrática:

$x_t=\frac{16\ñ\sqrt{16^2-4.2.7}}{2.2}=\frac{16\ñ\sqrt{200}}{4}\\\\x_t_1=\frac{8+5\sqrt{2}}{2}\\\\x_{t2}=\frac{8-5\sqrt{2}}{2}$

Con lo que las rectas tangentes a la curva son dos, vamos a hallar las pendientes:

$\frac{dy}{dx}(x_{t1})=8x_{t1}=8\frac{8+5\sqrt{2}}{2}=32+20\sqrt{2}\\\\\frac{dy}{dx}(x_{t2})=8x_{t2}=32-20\sqrt{2}$

Las rectas tangentes quedan entonces:

$y-13=(32+20\sqrt{2})(x-4)=>y-13=(32+20\sqrt{2})x-128-80\sqrt{2}=>\\(32+20\sqrt{2})x-y-115-80\sqrt{2}=0\\\\y-13=(32-20\sqrt{2})(x-4)=>y-13=(32-20\sqrt{2})x-128+80\sqrt{2}=>\\(32-20\sqrt{2})x-y-115+80\sqrt{2}=0$

Se adjuntan las gráficas de la curva y de las dos rectas tangentes en Geogebra, los puntos de intersección con la curva de cada recta son aproximadamente (0,46;-0,14) y (7,54;226,14).