Question

Ejercicio e.

Encontrar el centroide de la región limitada por la curva f(x)=-x^2+3 y y=x^2-2x-1. Grafique en Geogebra las funciones, tome un pantallazo y usando Paint señale el centroide de la región del ejercicio.

Answer 1

El Centroide de la región limitada por f(x) y g(x) es:

Centroide (1/2, 1/2)

Se puede ver en la imagen adjunta.

Explicación paso a paso:

Datos;

f(x) = -x²+3

g(x) = x²-2x-1

Centroide (x, y);

x = Mx/A

y = My/A

Determinar la intersección de las curvas;

f(x) = g(x)

-x²+3 = x²-2x-1

2x²-2x-4 = 0

Aplicar la resolvente;

x₁,₂=[-b±√(b²-4ac)]/2a

Sustituir;

x₁,₂= [2±√(2²-4(2)(-4))]/2(2)

x₁,₂= [2±√36]/4

x₁= 2

x₂= -1

Calcular el área;

$A=\int\limits^{2}_{-1} {[f(x)-g(x)]}\,dx$

Sustituir;

$A=\int\limits^{2}_{-1} {[(-x^{2}+3)-(x^{2}-2x-1)]}\,dx$

$A=\int\limits^{2}_{-1} {[-x^{2}+3-x^{2}+2x+1]}\,dx$

$A=\int\limits^{2}_{-1} {[-2x^{2}+2x+4]}\,dx$

$A= [-\frac{2}{3}x^{2}+x^{2}+4x]^{2}_{-1}$

Evaluar;

A = 9

Calcular My;

$My=\int\limits^{b}_{a} (x){[f(x)-g(x)]}\,dx$

Sustituir;

$My=\int\limits^{2}_{-1} (x){[(-x^{2}+3)-(x^{2}-2x-1)]}\,dx$

$My=\int\limits^{2}_{-1} (x){[-2x^{2}+2x+4]}\,dx$

Aplicar distributiva;

$My=\int\limits^{2}_{-1} {[-2x^{3}+2x^{2}+4x]}\,dx$

$My=[-\frac{1}{2}x^{4}+\frac{2}{3}x^{2}+2x^{2}]^{2}_{-1}$

My = 9/2

Calcular Mx;

$Mx=\frac{1}{2}\int\limits^{b}_{a} {[f(x)-g(x)]^{2}}\,dx$

Sustituir;

$Mx=\frac{1}{2}\int\limits^{2}_{-1} {[(-x^{2}+3)^{2}-(x^{2}-2x-1)^{2}]}\,dx$

$Mx=\frac{1}{2}\int\limits^{2}_{-1} {[(x^{4}-6x^{2}+9)-(x^{4}-4x^{3}+2x^{2}+4x+1)]}\,dx$

Simplificar;

$Mx=\frac{1}{2}\int\limits^{2}_{-1} {[4x^{3}-8x^{2}-4x+8]}\,dx$

$Mx=\frac{1}{2}[x^{4}-\frac{8}{3}x^{3}-2x^{2}+8x]^{2}_{-1}$

Mx = 9/2

Centroide;

x= y = (9/2)/9 = 1/2

(1/2, 1/2)