Question

La aceleración de caída libre g viene determinada por la relación g= l / t . La incertidumbre en el valor de l es del 2 % y la incertidumbre en el valor de t es del 5 %. ¿Cuál es la incertidumbre en g? A. 3 % B. 7 % C. 8 % D. 12 %

Answer 1

La incertidumbre relativa de g al introducir en la ecuación l y t con sus respectivas incertidumbres es del 7%.

Desarrollo:

En este ejercicio se intenta obtener la incertidumbre relativa del valor de g expresada como un cociente de dos magnitudes de las cuales se expresan los errores relativos.

Para el cociente tenemos que el error absoluto es:

$g= \frac{l}{t}\\\\\Delta g=|\frac{dg}{dl}|\Delta l+|\frac{dg}{dt}|\Delta t$

Las derivadas parciales se obtienen derivando la función respecto de una variable tratando a las demás como constantes:

$\frac{dg}{dl}=\frac{1}{t}\\\\\frac{dg}{dt}=-\frac{l}{t^2}$

Reemplazando queda:

$\Delta g=|\frac{1}{t}|\Delta l+|-\frac{l}{t^2}|\Delta t\\\Delta g=\frac{1}{t}\Delta l+\frac{l}{t^2}\Delta t$

Ahora sacamos factor común 1/t:

$\Delta g=\frac{1}{t}(\Delta l+\frac{l}{t}\Delta t)$

Y saco factor común l:

$\Delta g=\frac{l}{t}(\frac{\Delta l}{l}+\frac{\Delta t}{t})$

Ahora reemplazo g=l/t en la expresión:

$\Delta g=g(\frac{\Delta l}{l}+\frac{\Delta t}{t})\\\\\frac{\Delta g}{g}=\frac{\Delta l}{l}+\frac{\Delta t}{t}$

Nos queda que en el cociente de dos magnitudes el error relativo del resultado es la suma de los errores relativos del numerador y del denominador. Por lo que el error relativo de g es:

$\frac{\Delta l}{l}=0,02\\\frac{\Delta t}{t}=0,05\\\\\frac{\Delta g}{g}=\frac{\Delta l}{l}+\frac{\Delta t}{t}=0,02+0,05=0,07$

O expresado de forma porcentual un 7%.