Question

SE QUIERE CONSTRUIR UN CONTENEDOR CILÍNDRICO DE METAL CUYA BASE CIRCULAR TENGA 64 CENTÍMETROS CÚBICOS. HALLE SUS DIMENSIONES DE MANERA QUE LA CANTIDAD DE METAL REQUERIDO SEA EL MÍNIMO.

Answer 1

El contenedor cilíndrico tiene que medir 4,34 metros de diámetro por 4,33 metros de altura para que con un volumen de 64 metros cúbicos, la cantidad de metal a emplear en su construcción sea la menor posible.

Explicación paso a paso:

Se tiene que el volumen del contenedor cilíndrico es de 64 metros cúbicos, la ecuación de volumen del cilindro es:

$V=\pi r^2h$

Para construirlo se utiliza la siguiente cantidad de metros cuadrados de metal:

$A=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r(r+h)$

Esta última es la función a minimizar. De la expresión de volumen despejamos la altura:

$h=\frac{V}{\pi r^2}$

Reemplazamos en la expresión del área:

$A=2\pi r(r+\frac{V}{\pi r^2})=2\pi r(\frac{\pi r^3+V}{\pi r^2})=2\frac{\pi r^3+V}{r}$

Para hallar el mínimo hay que derivar la función, en efecto, la condición de mínimo de una función en un punto x0 es:

$f'(x_0)=0\\f''(x_0)>0$.

La derivada del área es:

$A'(r)=2(\frac{3\pi r^3-\pi r^3-V}{r^2})$

Para que sea cero alcanza con igualar a cero el numerador:

$3\pi r^3-\pi r^3-V=0\\2\pi r^3-V=0\\\\r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}= \sqrt[3]{\frac{64}{2\pi}}=2,17m$

La derivada segunda es:

$A''(r)=2\frac{6\pi r^2.r^2-(\pi r^3-V)2r}{r^4}=2\frac{5\pi r^4-2Vr}{r^4}\\\\A''(2,17)=6,36 > 0$

Con lo cual el punto hallado es un mínimo, es el radio que minimiza la cantidad de metal a utilizar para un volumen de 64 metros cúbicos.

El diámetro es 2.r=2.2,17m=4,34m

De la expresión del volumen obtenemos la altura:

$h=\frac{V}{\pi r^2}=\frac{64m^3}{\pi (2,17m)^2}=4,33m$