Question

Necesito hallar los máximos y mínimos de la siguiente función

4/2+8e^-2x

Answer 1

La función propuesta no tiene máximos ni mínimos en todo el dominio.

Explicación paso a paso:

Si repasamos las condiciones de máximo y mínimo de una función tenemos que para que un punto x0 del dominio sea un máximo, tiene que verificar:

$f'(x_0)=0\\f''(x_0)<0$

Es decir la derivada tiene que ser cero y la derivada segunda negativa. Del mismo modo la condición de mínimo para un punto del dominio x0 es:

$f'(x_0)=0\\f''(x_0)>0$

Ahora vamos a analizar la ecuación:

$f(x)=\frac{4}{2+8e^{-2x}}$

La que se puede reescribir como:

$f(x)=4(2+8e^{-2x})^{-1}$

Y se puede derivar por la regla de la cadena:

$f'(x)=-4(2+8e^{-2x})^{-2}.(-2)e^{-2x}=\frac{8e^{-2x}}{(2+8e^{-2x})^2}$

La función tiene extremos donde la derivada es cero, para que la función cero, alcanza con que el numerador lo sea.

$8e^{-2x}=0\\\\e^{-2x}=0\\\\ln(-2x)=ln(0)$

De la expresión anterior tenemos que el logaritmo de cero no existe, esto implica que la derivada no tiene raíces, y por ende la función propuesta no tiene extremos. Lo cual podemos verificar al observar su gráfica en la imagen adjunta.