Question

Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite:

Answer 1

La derivada de la función propuesta es $f'(x)=6x^2-4x$

Desarrollo:

Vamos a hallar la derivada reemplazando la expresión de la función en la definición de derivada:

$f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\\\f(x)=2x^3+2x^2$

Nos queda:

$f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{2(x+h)^3+2(x+h)^2-2x^3-2x^2}{h}$

Reemplazamos en la expresión los siguientes binomios por:

$(x+h)^3=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3\\\\(x+h)^2=x^2+2xh+h^2$

Y queda;

$f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{2(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)+2(x^2+2xh+h^2)-2x^3-2x^2}{h}\\\\f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{2x^3+6x^2h+6xh^2+2h^3+2x^2+4xh+2h^2-2x^3-2x^2}{h}$

Si ahora simplificamos la expresión tenemos:

$f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{6x^2h+6xh^2+2h^3+4xh+2h^2}{h}$

Para eliminar la indeterminación tipo cero sobre cero sacamos factor común de h en el numerador:

$f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{h(6x^2+6xh+2h^2+4x+2h)}{h}=\lim_{h \to 0} 6x^2+6xh+2h^2+4x+2h\\\\f'(x)=6x^2+4x$

Por las reglas de la derivación la misma derivada da:

$f'(x)=3.2x^{3-2}+2.2x^{2-1}=6x^2+4x$

Con lo que acabamos de demostrar la validez de dichas reglas.