Una taza de café caliente que inicialmente se encuentra a 95°c, se enfría y llega a 80°c en 5 minutos, mientras permanece servida en un cuarto cuya temperatura está a 21°c. determine en qué momento el café estará a la temperatura ideal de 50°c.
Respuestas
El tiempo cuando el café tiene una temperatura de 50°C es de t1 = 20.67 min
Explicación paso a paso:
Resolvemos por la ley de enfriamiento de Newton partiendo de:
dT/dt = k(T - Ta)
∫dT/(T - Ta) = ∫kdt
T(t) = Ce^kt + Ta
Calculamos el valor de la constante C
el cuarto esta a 21°C y en t=0 la temperatura del café es 95°C
T(0) = Ce^k(0) + 21 ⇒ C +21 = 95 ⇒ C = 74 .:. Sustituimos
T(t) = 74e^k(0) + 21
t = 5min ; T = 80°C
80 = 74e^5k + 21
k = ln(59/74)/5
k = -0.0453 °C/min
Sustituimos valores
t = t1 minutos ; 50°C
T(t) = 74e^-0.0453*t1 + 21 = 50
t1 = 20.67 min
La taza de café estará a la temperatura ideal de 50°C en 20.68 minutos, aproximadamente, después de haberse servido en el cuarto cuya temperatura está a 21°C, según la Ley de Enfriamiento de Newton.
¿Se puede aplicar la Ley de Enfriamiento de Newton?
La Ley de Enfriamiento de Newton se aplica precisamente en situaciones en que la temperatura del aire es constante y su diferencia con la temperatura del objeto de estudio no tienen diferencias muy grandes.
"La velocidad de enfriamiento de un objeto expuesto al aire libre es proporcional a la diferencia entre las temperaturas del objeto y del aire, si esta no es muy grande."
Esta Ley se expresa por medio de una ecuación diferencial cuya solución es la expresión:
T₍ₓ₎ = A + D · e ⁻ ⁽ ᵇ ˣ ⁾
donde
- T = temperatura del objeto en cualquier instante
- x = tiempo
- A = temperatura del aire
- D = constante que representa la ordenada al origen
- b = constante que representa la pendiente de la gráfica
En el caso estudio, la taza de café es el objeto de estudio, así que usaremos los datos proporcionados para hallar una expresión de la Ley de Enfriamiento de Newton que sea el modelo matemático del enfriamiento de la taza de café.
Para ello, vamos a sustituir los datos aportados en el modelo de la Ley de Enfriamiento de Newton para conocer el valor de las constantes en el modelo y obtener el modelo de simulación de la temperatura del café:
Inicialmente, x = 0, el café tiene una temperatura de T₍₀₎ = 95°C y se lleva a una habitación que tiene una temperatura A = 21°C, entonces
95 = 21 + D · e ⁻ ⁽ ᵇ ⁾⁽ ⁰ ⁾ ⇒ D = 74
Luego, T₍ₓ₎ = 21 + 74 · e ⁻ ⁽ ᵇ ˣ ⁾
Hallamos el valor de b sabiendo que después de 5 minutos el café está a 80°C. Sustituimos en el modelo
80 = 21 + 74 · e ⁻ ⁽ ᵇ ⁾⁽ ⁵ ⁾ ⇒ b = -( 1 / 5 ) Ln( 59 / 74 )
Por lo tanto, el modelo matemático de simulación de la temperatura del café T en el instante x es
Queremos hallar en qué momento el café se habrá enfriado a 50°C, para lo cual sustituimos este valor en el modelo anterior y despejamos x
El café se habrá enfriado a 50°C en 20.68 minutos, aproximadamente.
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