Question

1. Determine si el conjunto S genera a R3
S= {(4, 7,3), (-1, 2,6), (2-3,5)}
2. Determine si el conjunto S es linealmente dependiente.
S= {(-2,4), (1,-2)}

Answer 1

El conjunto S ={(4,7,3), (-1,2,6), (2,-3,5)} genera a r³ .

El conjunto S = {(-2,4), (1,-2)} es linealmente dependiente.

Explicación paso a paso:

Dados;

1. S ={(4,7,3), (-1,2,6), (2,-3,5)}

Para que el conjunto S genere el espacio r³, debe ser vectores linealmente independientes, los cuales se pueden expresar como una combinación lineal.

α₁(4,7,3)+α₂(-1,2,6)+α₃(2,-3,5) = (0,0,0)  

4α₁ - α₂ + 2α₃ = 0

7α₁ + 2α₂ - 3α₃ = 0

3α₁ + 6α₂ + 5α₃ = 0

El determinante formado por la matiz de coeficientes del sistema, si este dar distinto de cero el sistema el linealmente independiente.

$det\left[\begin{array}{ccc}4&-1&2\\7&2&-3\\3&6&5\end{array}\right]$

= 4[(2)(5)-(6)(-3)]+[(7)(5)-(3)(-3)]+2[(7)(6)-(3)(2)]

=4(28)+(44)+2(36)

= 288

Combinación lineal:

α₁(6,7,6)+α₂(3,2,-4)+α₃(1,-3,2) = (x,y,z)

El conjunto es linealmente independiente y se puede expresar como combinación lineal, por lo tanto genera a r³.

2. S = {(-2,4), (1,-2)}

α₁(-2,4)+α₂(1,-2) = (0,0)

-2α₁ + α₂ = 0

4α₁ - 2α₂ = 0

$det\left[\begin{array}{cc}-2&1\\4&-2\end{array}\right]$

= -2(-2)-(4)

= 0

El conjunto es linealmente dependiente.

Answer 2

El conjunto S de la pregunta 1 genera a R³ y el conjunto S de la pregunta 2 no es linealmente independiente

Pregunta #1

Condición para que generen a R³:

Como son tres vectores, para que el conjunto de vectores genere a R³, tenemos que si la combinación lineal de ellos es 0 es porque los coeficientes son cero, veamos:

a(4, 7, 3) + b(-1, 2,6) + c(2, -3,5) = (0,0,0)

Sistema de ecuaciones:

1. 4a - b + 2c = 0
2. 7a + 2b - 3c = 0
3. 3a + 6b + 5c = 0

Multiplicamos la ecuación 1 por 2 y 6:

4. 8a - 2b + 4c = 0

5. 24a - 6b + 12c = 0

Sumamos la ecuación 4 con la 2 y la ecuación 5 con la 3:

6. 15a + c = 0

7. 27a + 17c = 0

Multiplicamos la ecuación 6 por 17:

8. 255a + 17c = 0

Restamos la ecuación 8 y 7:

228c = 0 ⇒ c = 0

Sustituimos en 8:

255a = 0 ⇒ a = 0

Sustituimos en 1:

- b = 0 ⇒ b = 0

Por lo tanto, el conjunto si genera a R³

Pregunta #2:

Condición de linealmente independiente (Li)

Si los elementos del conjunto S son Li entonces la combinación lineal es 0 solo si los elementos son cero, veamos:

a(-2,4) + b(1,-2)  = (0,0)

Sistema de ecuaciones:

1. -2a + b = 0
2. 4a - 2b = 0

Multiplicamos la ecuación 1 por 2:

3. -4a + 2b = 0

Sumamos la ecuación 3 con la 2:

0 = 0, por lo tanto el problema tiene infinitas soluciones entonces los elementos no son linealmente independientes

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