Se utiliza un resorte para detener un paquete de 60 kg que se desliza sobre una superficie horizontal. El resorte tiene una constante k = 20 kN/m y se sostiene mediante cables de manera que se encuentre inicialmente comprimido 120 mm. Sabiendo que el paquete tiene una velocidad de 2.5 m/s en la posición que se indica y que la máxima compresión adicional del resorte es de 40 mm, determine a) el coeficiente de fricción cinética entre el paquete y la superficie, b) la velocidad del paquete cuando éste pasa otra vez por la posición mostrada
Respuestas
El coeficiente de fricción cinética entre el paquete y la superficie es igual a μc = 3.21
La velocidad del paquete cuando éste pasa otra vez por la posición mostrada es igual a Vf = - 1.53 m/s
m = 60kg
K = 20KN/m
d = 120mm = 0.12m
V = 2.5m/s
d = 40mm = 0.04m
μ = ?
V = ?
Para la solución se debe aprovechar el principio de conservación de la energía entre el momento justo antes en que el paquete toca al resorte previamente comprimido y el momento en que la comprensión es máxima y la velocidad del paquete es cero,
WFnc + Emi = Emf
WFnc + Eci + Eei = Ecf + Eef
Fr*xf*Cos*(180°) + (1/2)*m*Vi² + (1/2)*K*xi² = 0 + (1/2)*K*xf²
( μc*N)*0.040m*(-1) + 0.5*60Kg*(2.5m/s)² + 0.5*20000 N/m*(0.120m)² = 0.5*20000 N/m*(0.120m + 0.040m)²
-0.040m*(μc*m*g) + 187.5J + 144J = 256J
-0.040m * (μc*60Kg*9.8m/s²) = - 75.5J
μc = 3.21
Para hallar la velocidad final del paquete cuando pasa otra vez por la posición donde el resorte esta completamente estirado :
WFnc + Emi = Emf
WFnc + Eci + Eei = Ecf + Eef
Fr*(xi+xf)*cos(180°) + 0 + (1/2)*K*(xi+xf)² = (1/2*m*Vf² + 0
(μc*N)*(0.040m + 0.120m)*(-1) + (0.5*20000N/m*(0.040 +0.120m)²) = 0.5* 60Kg*Vf²
- (3.21*m*g)*0.16m + 256J = 30Kg*Vf²
-(3.21*60Kg*9.8m/s²)*0.16m + 256J = 30Kg*Vf²
-302J + 256J = 30Kg*Vf²
Vf = - 1.53 m/s
En el sistema paquete resorte el coeficiente de fricción cinética vale u = 0.2, y la velocidad final del paquete es 1.103 m/s.
La energía mecánica en todo momento en que se mueve el paquete debe permanecer constante.
¿Cómo se calcula la energía mecánica?
Se obtiene sumando la energía potencial U más la energía cinética K:
Em = U + K
- Parte a: Cálculo del coeficiente de fricción cinética:
El paquete parte parte con una velocidad inicial y cierta energía cinética. Parte de esta energía se pierde por fricción cuando se desplaza 600 mm más 40 mm que se comprime el resorte:
Emi = (1/2)*m*Vi^2 - Fr*X
Emi = (1/2)*m*Vi^2 - μ*m*g*X
Emi = (1/2)*60*2.5^2 - μ*60*9.8*0.64
El resorte acumula una energía potencial cuando se comprime desde su posición inicial hasta la final por lo que la energía final es:
Emf = (1/2)*k*Xf^2 - (1/2)*k*Xi^2
Emf = (1/2)*20000*(0.12+0.04)^2 - (1/2)*20000*0.12^2 = 112 J
Luego igualando Emi con Emf se despeja el coeficiente de fricción:
μ = 0.2
- Parte b: Velocidad final del paquete:
Ya que conocemos el coeficiente de fricción calculamos la fuerza de fricción:
Fr = μ*m*g
Fr = 0.2*60*9.8 = 117.6 N
La energía inicial viene dada por la potencial del resorte menos la perdida por fricción:
Emi = 112 - 117.6*0.64 = 36.7 J
Esta debe ser igual a la energía final que depende de la velocidad:
(1/2)*60*Vf^2 = 36.7
Vf = 1.103 m/s
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